Topolojik uzay
Topolojik uzay, şekillerin yapısının matematiği olan topolojide incelenen bir uzaydır. Kabaca, hangi şeylerin birbirine yakın olduğunu bilmenin bir yolu ile birlikte bir dizi şeydir (nokta olarak adlandırılır).
Daha açık bir ifadeyle, topolojik bir uzay, açık kümeler olarak adlandırılan belirli bir küme türüne sahiptir. Açık kümeler önemlidir, çünkü bir noktanın komşuluğu olarak adlandırılan başka bir noktanın yakınındaki noktalardan bahsetmeye izin verirler. Bir noktanın komşuluğu, basitçe o noktayı içeren bir açık kümedir. Eğer açık küme kavramına sahip olmasaydık, komşulukları iyi bir şekilde tanımlayamazdık. Eğer bir noktanın komşuluğu o noktayı içeren herhangi bir küme olarak tanımlanmaya çalışılırsa, bu sadece o noktayı ve sadece o noktayı içerebilir, yakınındaki ya da uzağındaki noktaları içermez. Ayrıca, açık kümelerin tamamlayıcısı olan kapalı kümeler kavramına da sahibiz. Yani, belirli bir açık kümeye ait olmayan tüm noktalar bir kapalı küme oluşturur.
Açık kümeler, yakınlık fikirlerimizle eşleşmeleri için belirli kurallara uymalıdır. Herhangi bir sayıda açık kümenin birleşimi açık olmalıdır ve sonlu sayıda kapalı kümenin birleşimi kapalı olmalıdır. (İkinci kural yalnızca sonlu sayıda kapalı küme için geçerlidir. Çünkü birçok durumda tek bir nokta içeren bir küme kapalıdır. Herhangi bir küme noktalardan oluşur. Eğer ikinci kural sonsuz sayıda kapalı kümeye uygulansaydı, o zaman her küme kapalı olurdu). Özel bir durum olarak, her noktayı içeren küme hem açık hem de kapalıdır. Hiçbir nokta içermeyen küme de hem açık hem de kapalıdır.
Bir nokta kümesi, açık kümenin ne olduğuna dair birçok farklı tanıma sahip olabilir. Yalnızca belirli kümelerin açık olduğu ya da daha fazla kümenin açık olduğu düşünülebilir. Hatta her kümenin açık olduğu bile düşünülebilir. Farklı açık küme tanımlarına sahip aynı küme farklı topolojik uzaylar oluşturur.
Sorular ve Yanıtlar
S: Topolojik uzay nedir?
C: Topolojik uzay, hangi şeylerin birbirine yakın olduğunu bilmenin bir yolu ile birlikte bir dizi noktadır. Şekillerin yapısının matematiğinde incelenir.
S: Açık kümeler nedir?
C: Açık kümeler önemlidir, çünkü bir noktanın komşuluğu olarak adlandırılan başka bir noktanın yakınındaki noktalar hakkında konuşmaya izin verirler. Komşulukları iyi bir şekilde tanımlamak için kullanılabilecek belirli küme türleri olarak tanımlanırlar.
S: Açık kümeler nelere uymalıdır?
C: Açık kümeler, yakınlık fikirlerimize uymaları için belirli kurallara uymalıdır. Herhangi bir sayıda açık kümenin birleşimi açık olmalıdır ve sonlu sayıda kapalı kümenin birleşimi kapalı olmalıdır.
S: Açık ve kapalı kümeler için özel durum nedir?
C: Hem açık hem de kapalı kümeler için özel durum, her noktayı içeren kümenin hem açık hem de kapalı olması ve hiçbir noktayı içermeyen kümenin hem açık hem de kapalı olmasıdır.
S: Farklı tanımlar topolojik uzayları nasıl etkiler?
C: Açık kümenin ne olduğuna dair farklı tanımlar, yalnızca belirli kümeleri açık veya normalden daha fazla olarak kabul ederek veya hatta her kümeyi açık olarak kabul ederek topolojik uzayları etkileyebilir.
S: Sonsuz sayıda kapalı küme herhangi bir küme oluşturabilir mi?
C: Hayır, eğer sonsuz sayıda kapalı kümeye izin verilseydi, o zaman her küme kapalı olarak kabul edilirdi, çünkü herhangi bir küme sadece noktalardan oluşur.
