Matematiksel tümevarım

Matematiksel tümevarım, matematiksel bir gerçeği kanıtlamanın özel bir yoludur. Bir şeyin tüm doğal sayılar (tüm pozitif tam sayılar) için doğru olduğunu kanıtlamak için kullanılabilir. Buradaki fikir şudur

İlk durum için doğru olan bir şey var
Aynı şey bir sonraki vaka için de her zaman geçerlidir

sonra

Aynı şey her vaka için geçerlidir

Matematiğin dikkatli diliyle:

İspatın n {\displaystyle n} üzerinden tümevarım yoluyla yapılacağını belirtin. (n {\displaystyle n} tümevarım değişkenidir).
İfadenin n {\displaystyle n} 1 olduğunda doğru olduğunu gösterin.
İfadenin herhangi bir n doğal sayısı için doğru olduğunu varsayalım {\displaystyle n} . (Buna tümevarım adımı denir.)

O halde ifadenin bir sonraki sayı olan n + 1 {\displaystyle n+1} $n+1$ için de doğru olduğunu gösterin.

Çünkü 1 için doğrudur, o zaman 1+1 için doğrudur (=2, tümevarım adımıyla), o zaman 2+1 için doğrudur (=3), o zaman 3+1 için doğrudur (=4) ve bu böyle devam eder.

Tümevarım yoluyla kanıtlamaya bir örnek:

Tüm n doğal sayıları için şunu kanıtlayın:

1 + 2 + 3 + . . . . + ( n - 1 ) + n = 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle 1+2+3+....+(n-1)+n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)} $1+2+3+....+(n-1)+n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)$

Kanıt:

İlk olarak, ifade şöyle yazılabilir: tüm n doğal sayıları için

2 ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)} $2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)$

n üzerinde tümevarımla,

İlk olarak, n=1 için:

2 ∑ k = 1 1 k = 2 ( 1 ) = 1 ( 1 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)} $2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)$ ,

Yani bu doğru.

Ardından, bazı n=n₀ için ifadenin doğru olduğunu varsayalım. Yani,:

2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)} $2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)$

Sonra n=n için₀ +1:

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{{n_{0}}+1}k} $2\sum _{k=1}^{{n_{0}}+1}k$

yeniden yazılabilir

2 ( ∑ k = 1 n 0 k + ( n 0 + 1 ) ) {\displaystyle 2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)} $2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)$

2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) olduğundan, {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),} $2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),$

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k = n 0 ( n 0 + 1 ) + 2 ( n 0 + 1 ) = ( n 0 + 1 ) ( n 0 + 2 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)} $2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)$

Dolayısıyla kanıt doğrudur.

Benzer kanıtlar

Matematiksel tümevarım genellikle 0 başlangıç değeri ile ifade edilir (1 yerine). Aslında, çeşitli başlangıç değerleriyle de aynı şekilde çalışacaktır. İşte başlangıç değerinin 3 olduğu bir örnek. n {\displaystyle n} kenarlı bir çokgenin iç açılarının toplamı ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180} $(n-2)180$ derecedir.

İlk başlangıç değeri 3'tür ve bir üçgenin iç açıları ( 3 - 2 ) 180 {\displaystyle (3-2)180} $(3-2)180$ derecedir. Bir n {\displaystyle n} kenarlı çokgenin iç açılarının ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180} $(n-2)180$ derece olduğunu varsayalım. Şekli n + 1 {\displaystyle n+1} yapan bir üçgen ekleyin. $n+1$ kenarlı çokgen ve bu da açı sayısını 180 derece artırır ( n - 2 ) 180 + 180 = ( n + 1 - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180+180=(n+1-2)180} $(n-2)180+180=(n+1-2)180$ derece. Kanıtlandı.

Matematiksel tümevarım yoluyla ispatın işe yaradığı çok sayıda matematiksel nesne vardır. Teknik terim iyi düzenlenmiş kümedir.

Tümevarımsal tanım

Aynı fikir, kanıtlamanın yanı sıra tanımlamak için de işe yarayabilir.

n {\displaystyle n} inci derece kuzeni tanımlayın:

1 {\displaystyle 1} $1$ birinci derece kuzen, bir ebeveynin kardeşinin çocuğudur
Bir n + 1 {\displaystyle n+1} $n+1$ inci derece kuzen, bir ebeveynin n {\displaystyle n} inci derece kuzeninin çocuğudur.

Doğal sayıların aritmetiği için matematiksel tümevarıma dayanan bir dizi aksiyom vardır. Buna "Peano'nun Aksiyomları" denir. Tanımsız semboller | ve ='dir. Aksiyomlar şunlardır

| doğal bir sayıdır
Eğer n {\displaystyle n} bir doğal sayı ise, o zaman n | {\displaystyle n|} bir doğal sayıdır $n|$
Eğer n | = m | {\displaystyle n|=m|} $n|=m|$ ise n = m {\displaystyle n=m} $n=m$

Daha sonra matematiksel tümevarım yoluyla toplama, çarpma ve benzeri işlemler tanımlanabilir. Örneğin:

m + | = m | {\displaystyle m+|=m|} $m+|=m|$
m + n | = ( m + n ) | {\displaystyle m+n|=(m+n)|} $m+n|=(m+n)|$

Sorular ve Yanıtlar

S: Matematiksel tümevarım nedir?

C: Matematiksel tümevarım, matematiksel bir gerçeği kanıtlamanın özel bir yoludur ve bir şeyin belirli bir noktadan itibaren tüm doğal sayılar veya pozitif sayılar için doğru olduğunu kanıtlamak için kullanılabilir.

S: Tümevarım yoluyla ispat nasıl ilerler?

C: Tümevarım yoluyla ispat tipik olarak ispatın n üzerinden yapılacağını belirterek, n 1 olduğunda ifadenin doğru olduğunu göstererek, ifadenin herhangi bir n doğal sayısı için doğru olduğunu varsayarak ve ardından bir sonraki sayı (n+1) için doğru olduğunu göstererek ilerler.

S: Tümevarımsal bir adımda bir şeyi varsaymak ne anlama gelir?

C: Tümevarımsal bir adımda bir şeyi varsaymak, kanıt veya ispat sunmadan onu doğru olarak kabul etmek anlamına gelir. Daha fazla araştırma için bir başlangıç noktası görevi görür.

S: Matematiksel tümevarımda ne tür sayılar kullanılır?

C: Matematiksel tümevarım genellikle belirli bir noktadan itibaren doğal sayıları veya pozitif sayıları kullanır.

S: Bir şeyin bir sonraki sayı (n+1) için doğru olduğunu nasıl gösterirsiniz?

C: Bir şeyin bir sonraki sayı (n+1) için doğru olduğunu göstermek için, önce n=1 olduğunda doğru olduğunu kanıtlamanız ve ardından n+1 için de doğru olduğunu göstermek için tümevarım adımındaki varsayımınızı kullanmanız gerekir.