Schwarzschild metriği
Schwarzschild metriği Karl Schwarzschild tarafından 1916 yılında Einstein'ın alan denklemlerine bir çözüm olarak hesaplanmıştır. Schwarzschild çözümü olarak da bilinen bu denklem, astrofizik alanında genel görelilikten gelen bir denklemdir. Bir metrik, uzayzamanı tanımlayan bir denklemi ifade eder; özellikle, bir Schwarzschild metriği, bir Schwarzschild kara deliğinin etrafındaki yerçekimi alanını tanımlar - manyetik alanı olmayan ve kozmolojik sabitin sıfır olduğu, dönmeyen, küresel bir kara delik.
Esasen bir parçacığın bir kara deliğin yakınındaki uzayda nasıl hareket ettiğini açıklayan bir denklemdir.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
Türetme
Schwarzschild metriğini hesaplamanın daha karmaşık bir yolu Christoffel Sembolleri kullanılarak bulunabilse de, kaçış hızı ( v e {\displaystyle v_{e}}
), zaman genişlemesi (dt'), uzunluk daralması (dr') denklemleri kullanılarak da türetilebilir:
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}
(1)
v parçacığın hızıdır
G yerçekimi sabitidir
M kara deliğin kütlesidir
r parçacığın ağır nesneye
ne kadar yakın olduğudur
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
(3)
dt' parçacığın zamandaki gerçek değişimidir
dt parçacığın zamandaki değişimidir
dr' kat edilen gerçek mesafedir
dr parçacığın mesafedeki değişimidir
v parçacığın hızıdır
c ışık hızıdır
Not: Parçacığın kat ettiği gerçek zaman aralığı ve gerçek mesafe, klasik fizik hesaplamalarında hesaplanan zaman ve mesafeden farklıdır, çünkü bu kadar ağır bir yerçekimi alanında hareket etmektedir!
Küresel koordinatlarda düz uzayzaman denklemini kullanarak:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(4)
ds parçacığın izlediği yoldur
θ {\displaystyle \theta }
açıdır
d θ {\displaystyle \theta } ve d ϕ {\displaystyle \phi }
açılardaki değişimdir.
Schwarzschild metriğini elde etmek için kaçış hızı, zaman genişlemesi ve uzunluk daralması denklemlerini (denklem 1, 2 ve 3) düz uzayzaman denklemine (denklem 4) girin:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(5)
Bu denklemden Schwarzschild yarıçapını ( r s {\displaystyle r_{s}}
), yani bu kara deliğin yarıçapını çıkarabiliriz. Bu en yaygın olarak bir Schwarzschild kara deliğini tanımlamak için kullanılsa da, Schwarzschild yarıçapı herhangi bir ağır nesne için hesaplanabilir.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} nesnenin ayarlanmış yarıçap sınırıdır
Sorular ve Yanıtlar
S: Schwarzschild metriği nedir?
C: Schwarzschild metriği, astrofizik alanında bir parçacığın bir kara deliğin yakınındaki uzayda nasıl hareket ettiğini açıklayan genel görelilikten bir denklemdir. Karl Schwarzschild tarafından 1916 yılında Einstein'ın alan denklemlerine bir çözüm olarak hesaplanmıştır.
S: Bir metrik neyi ifade eder?
C: Bir metrik, uzay-zamanı tanımlayan bir denklemi ifade eder; özellikle, bir Schwarzschild metriği, bir Schwarzschild kara deliğinin etrafındaki yerçekimi alanını tanımlar.
S: Schwarzschild kara deliğinin bazı özellikleri nelerdir?
C: Schwarzschild kara deliği dönmez, küreseldir ve manyetik alanı yoktur. Ayrıca kozmolojik sabiti sıfırdır.
S: Bir Schwarzschild kara deliğinin etrafındaki çekim alanını nasıl tanımlayabiliriz?
C: Parçacıkların bu tür bir kara deliğin yakınındaki uzayda nasıl hareket ettiğini açıklayan Schwartzchild metrik denklemini kullanarak tanımlayabiliriz.
S: Bu denklemi ilk kim hesapladı?
C: Karl Schwartzchild bu denklemi ilk olarak 1916 yılında Einstein'ın alan denklemlerine bir çözüm olarak hesaplamıştır.
S: Bu denklemde (ds)^2 neyi temsil eder?
C:(ds)^2 uzay-zaman üzerinde zaman ve uzay koordinatlarına göre ölçülen iki nokta arasındaki mesafeyi temsil eder.
