Schwarzschild metriğini hesaplamanın daha karmaşık bir yolu Christoffel Sembolleri kullanılarak bulunabilse de, kaçış hızı ( v e {\displaystyle v_{e}}
), zaman genişlemesi (dt'), uzunluk daralması (dr') denklemleri kullanılarak da türetilebilir:
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}
(1)
v parçacığın hızıdır
G yerçekimi sabitidir
M kara deliğin kütlesidir
r parçacığın ağır nesneye
ne kadar yakın olduğudur
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
(3)
dt' parçacığın zamandaki gerçek değişimidir
dt parçacığın zamandaki değişimidir
dr' kat edilen gerçek mesafedir
dr parçacığın mesafedeki değişimidir
v parçacığın hızıdır
c ışık hızıdır
Not: Parçacığın kat ettiği gerçek zaman aralığı ve gerçek mesafe, klasik fizik hesaplamalarında hesaplanan zaman ve mesafeden farklıdır, çünkü bu kadar ağır bir yerçekimi alanında hareket etmektedir!
Küresel koordinatlarda düz uzayzaman denklemini kullanarak:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(4)
ds parçacığın izlediği yoldur
θ {\displaystyle \theta }
açıdır
d θ {\displaystyle \theta } ve d ϕ {\displaystyle \phi }
açılardaki değişimdir.
Schwarzschild metriğini elde etmek için kaçış hızı, zaman genişlemesi ve uzunluk daralması denklemlerini (denklem 1, 2 ve 3) düz uzayzaman denklemine (denklem 4) girin:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(5)
Bu denklemden Schwarzschild yarıçapını ( r s {\displaystyle r_{s}}
), yani bu kara deliğin yarıçapını çıkarabiliriz. Bu en yaygın olarak bir Schwarzschild kara deliğini tanımlamak için kullanılsa da, Schwarzschild yarıçapı herhangi bir ağır nesne için hesaplanabilir.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} nesnenin ayarlanmış yarıçap sınırıdır
