Dalgacık dönüşümü

Dalgacık dönüşümü, bir sinyalin zaman-frekans gösterimidir. Örneğin, gürültü azaltma, özellik çıkarma veya sinyal sıkıştırma için kullanırız.

Sürekli sinyalin dalgacık dönüşümü şu şekilde tanımlanır

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

nerede

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ ana dalgacık olarak adlandırılır,
a {\displaystyle a} dalgacık genişlemesini ifade eder,
b {\displaystyle b} $b$ dalgacığın zaman kaymasını ifade eder ve
∗ {\displaystyle *} $*$ sembolü karmaşık eşleniği belirtir.

a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ ve b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} olması durumunda $b={a_{0}}^{m}kT$ burada a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} $T>0$ ve m {\displaystyle m} ve k {\displaystyle k} tamsayı sabitleri ise, dalgacık dönüşümü (sürekli sinyalin) ayrık dalgacık dönüşümü olarak adlandırılır.

a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ ve b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} olması durumunda $b=2^{m}kT$ burada m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ ayrık dalgacık dönüşümü dyadic olarak adlandırılır. Şu şekilde tanımlanır

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

nerede

m {\displaystyle m} frekans ölçeğidir,
k {\displaystyle k} zaman ölçeğidir ve
T {\displaystyle T} $T$ ana dalgacığa bağlı olan bir sabittir.

İkili ayrık dalgacık dönüşümünü aşağıdaki gibi yeniden yazmak mümkündür

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

Burada h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ verilen m {\displaystyle m} için ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ ile aynı olan sürekli filtrenin dürtü karakteristiğidir.

Benzer şekilde, ayrık zamanlı (ayrık sinyalin) ikili dalgacık dönüşümü şu şekilde tanımlanır

Frekans bozulma sinyalinin sürekli dalgacık dönüşümü. 5 ufuk anı ile symlet kullanılmıştır.

Sorular ve Yanıtlar

S: Dalgacık dönüşümü nedir?

C: Dalgacık dönüşümü, gürültü azaltma, özellik çıkarma veya sinyal sıkıştırma için kullanılan bir sinyalin zaman-frekans gösterimidir.

S: Sürekli sinyallerin dalgacık dönüşümü nasıl tanımlanır?

C: Sürekli sinyallerin dalgacık dönüşümü, bir ana dalgacık ile çarpılan bir fonksiyonun tüm değerleri üzerinde bir integral olarak tanımlanır; burada 'a' ve 'b' parametreleri sırasıyla genişleme ve zaman kaymasını gösterir.

S: İkili ayrık dalgacık dönüşümleri nedir?

C: Dyadik ayrık dalgacık dönüşümleri, frekans ölçeği 'm', zaman ölçeği 'k' ve sabit 'T' olan düzenli ayrık dalgacık dönüşümlerinin ayrık versiyonlarıdır. Belirli bir m için ana dalgacık ile aynı olan bir dürtü karakteristik filtresi ile çarpılan bir fonksiyonun tüm değerleri üzerinde bir integral olarak yeniden yazılabilirler.

S: Bu bağlamda "ana dalgacık" ne anlama gelmektedir?

C: Bu bağlamda, "ana dalgacıklar" belirli bir dönüşüm türünü (bu durumda Dalgacık Dönüşümü) hesaplamak için temel oluşturmak üzere diğer fonksiyonlarla birlikte kullanılan fonksiyonları ifade eder.

S: İkili ayrık Dalgacıklar nasıl hesaplanır?

C: İkili Ayrık Dalgacıklar, verilen m için ana dalgacıkla aynı olan bir dürtü karakteristik filtresi ile çarpılan bir fonksiyonun tüm değerleri üzerinde bir integral kullanılarak hesaplanır. Ek olarak, parametre olarak frekans ölçeği m, zaman ölçeği k ve sabit T gerektirir.

S: Sürekli Dalgacıklar tanımlanırken 'a' ve 'b' neyi temsil eder?

C: Sürekli Dalgacıkları tanımlarken, 'a' genişlemeyi temsil ederken 'b' zaman kaymasını temsil eder.