Dalgacık dönüşümü, bir sinyalin zaman-frekans gösterimidir. Örneğin, gürültü azaltma, özellik çıkarma veya sinyal sıkıştırma için kullanırız.

Sürekli sinyalin dalgacık dönüşümü şu şekilde tanımlanır

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,} ,

nerede

  • ψ {\displaystyle \psi }\psi ana dalgacık olarak adlandırılır,
  • a {\displaystyle a}a dalgacık genişlemesini ifade eder,
  • b {\displaystyle b}{\displaystyle b} dalgacığın zaman kaymasını ifade eder ve
  • ∗ {\displaystyle *}{\displaystyle *} sembolü karmaşık eşleniği belirtir.

a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}{\displaystyle a={a_{0}}^{m}} ve b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} olması durumunda {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}burada a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} {\displaystyle a_{0}>1}, T > 0 {\displaystyle T>0}{\displaystyle T>0} ve m {\displaystyle m}m ve k {\displaystyle k}k tamsayı sabitleri ise, dalgacık dönüşümü (sürekli sinyalin) ayrık dalgacık dönüşümü olarak adlandırılır.

a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}}{\displaystyle a=2^{m}} ve b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} olması durumunda {\displaystyle b=2^{m}kT}burada m > 0 {\displaystyle m>0} {\displaystyle m>0}ayrık dalgacık dönüşümü dyadic olarak adlandırılır. Şu şekilde tanımlanır

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} ,

nerede

  • m {\displaystyle m}m frekans ölçeğidir,
  • k {\displaystyle k}k zaman ölçeğidir ve
  • T {\displaystyle T}{\displaystyle T} ana dalgacığa bağlı olan bir sabittir.

İkili ayrık dalgacık dönüşümünü aşağıdaki gibi yeniden yazmak mümkündür

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} ,

Burada h m {\displaystyle h_{m}}{\displaystyle h_{m}} verilen m {\displaystyle m}m için ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}}{\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} ile aynı olan sürekli filtrenin dürtü karakteristiğidir.

Benzer şekilde, ayrık zamanlı (ayrık sinyalin) ikili dalgacık dönüşümü şu şekilde tanımlanır