Dalgacık,

Dalgacık, bir fonksiyonu veya sinyali, incelenmesi daha basit olan diğer fonksiyonlar cinsinden yazmak için kullanılan matematiksel bir fonksiyondur. Birçok sinyal işleme görevi dalgacık dönüşümü açısından görülebilir. Gayri resmi olarak, sinyal, dalgacık ölçeği tarafından verilen bir büyütme ile mercek altında görülebilir. Bunu yaparken, yalnızca kullanılan dalgacığın şekli tarafından belirlenen bilgileri görebiliriz.

İngilizce "wavelet" terimi 1980'lerin başında Fransız fizikçiler Jean Morlet ve Alex Grossman tarafından ortaya atılmıştır. Fransızca "ondelette" ("küçük dalga" anlamına gelir) kelimesini kullandılar. Daha sonra bu kelime İngilizceye "onde" "wave" olarak çevrilerek "wavelet" olarak kazandırıldı.

Dalgacık, ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ Hilbert uzayından (karmaşık) bir fonksiyondur. Pratik uygulamalar için aşağıdaki koşulları sağlamalıdır.

Sonlu enerjiye sahip olmalı.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Kabul edilebilirlik koşulunu karşılamalıdır.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty } $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ Burada ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}} ${\hat {\psi }}$ , ψ {\displaystyle \psi \,} 'nin Fourier dönüşümüdür. $\psi \,$

Sıfır ortalama koşulu, kabul edilebilirlik koşulundan kaynaklanmaktadır.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$ fonksiyonu ana dalgacık olarak adlandırılır. Ötelenmiş (kaydırılmış) ve genişletilmiş (ölçeklendirilmiş) normalleştirilmiş versiyonları aşağıdaki gibi tanımlanır.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Orijinal ana dalgacık a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ ve b = 0 {\displaystyle b=0} $b=0$ parametrelerine sahiptir. Öteleme b {\displaystyle b} $b$ parametresi ve dilatasyon a {\displaystyle a} parametresi ile tanımlanır.

Morlet dalgacığı

Sorular ve Yanıtlar

S: Dalgacık nedir?

C: Dalgacık, bir fonksiyonu veya sinyali, incelenmesi daha basit olan diğer fonksiyonlar cinsinden yazmak için kullanılan matematiksel bir fonksiyondur. Dalgacığın ölçeği tarafından verilen bir büyütme ile mercek altında görülebilir ve yalnızca şekli tarafından belirlenen bilgileri görmemizi sağlar.

S: "Dalgacık" terimini kim ortaya attı?

C: İngilizce "wavelet" terimi 1980'lerin başında Fransız fizikçiler Jean Morlet ve Alex Grossman tarafından Fransızca "ondelette" ("küçük dalga" anlamına gelir) kelimesini kullanarak ortaya atılmıştır. Daha sonra bu kelime İngilizceye "onde" kelimesinin "wave" kelimesine çevrilmesiyle "wavelet" olarak kazandırılmıştır.

S: Pratik uygulamalar için bir dalgacık neleri karşılamalıdır?

C: Pratik uygulamalar için, bir dalgacık sonlu enerjiye sahip olmalı ve bir kabul edilebilirlik koşulunu sağlamalıdır. Bu kabul edilebilirlik koşulu, sıfır ortalamaya sahip olması ve ayrıca sonsuzdan küçük olan frekans üzerinde bir integrali karşılaması gerektiğini belirtir.

S: Dalgacıklardan bahsederken öteleme ve dilatasyon ile ne kastedilmektedir?

C: Öteleme, ana dalgacığın zaman ekseni boyunca kaydırılması veya hareket ettirilmesi anlamına gelirken, dilatasyon, ana dalgacıkların zaman ekseni boyunca ölçeklendirilmesi veya gerilmesi / küçültülmesi anlamına gelir. Bu iki parametre (öteleme ve dilatasyon) sırasıyla b ve a ile tanımlanır.

S: Bir dalgacığın sıfır ortalamaya sahip olması ne anlama gelir?

C: Sıfır ortalama, negatif sonsuzdan pozitif sonsuza kadar tüm t değerleri üzerinde integral alırken, toplamın 0'a eşit olması gerektiği anlamına gelir, yani, ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Bu gereklilik yukarıda belirtildiği gibi kabul edilebilirlik koşulunun kendisinden kaynaklanmaktadır.

S: Ana dalgacıklar nasıl tanımlanır?

C: Ana Dalgacıklar, 'a' = 1 ve 'b' = 0 parametrelerine sahip orijinal ana Dalgacıkların çevrilmiş (kaydırılmış) ve genişletilmiş (ölçeklendirilmiş) versiyonlarının normalleştirilmiş versiyonları olarak tanımlanır.