Dalgacık, bir fonksiyonu veya sinyali, incelenmesi daha basit olan diğer fonksiyonlar cinsinden yazmak için kullanılan matematiksel bir fonksiyondur. Birçok sinyal işleme görevi dalgacık dönüşümü açısından görülebilir. Gayri resmi olarak, sinyal, dalgacık ölçeği tarafından verilen bir büyütme ile mercek altında görülebilir. Bunu yaparken, yalnızca kullanılan dalgacığın şekli tarafından belirlenen bilgileri görebiliriz.

İngilizce "wavelet" terimi 1980'lerin başında Fransız fizikçiler Jean Morlet ve Alex Grossman tarafından ortaya atılmıştır. Fransızca "ondelette" ("küçük dalga" anlamına gelir) kelimesini kullandılar. Daha sonra bu kelime İngilizceye "onde" "wave" olarak çevrilerek "wavelet" olarak kazandırıldı.

Dalgacık, ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}Hilbert uzayından (karmaşık) bir fonksiyondur. Pratik uygulamalar için aşağıdaki koşulları sağlamalıdır.

Sonlu enerjiye sahip olmalı.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }

Kabul edilebilirlik koşulunu karşılamalıdır.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty } {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty }Burada ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}}{\displaystyle {\hat {\psi }}} , ψ {\displaystyle \psi \,} 'nin Fourier dönüşümüdür. {\displaystyle \psi \,}

Sıfır ortalama koşulu, kabul edilebilirlik koşulundan kaynaklanmaktadır.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}

ψ {\displaystyle \psi \,}{\displaystyle \psi \,} fonksiyonu ana dalgacık olarak adlandırılır. Ötelenmiş (kaydırılmış) ve genişletilmiş (ölçeklendirilmiş) normalleştirilmiş versiyonları aşağıdaki gibi tanımlanır.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)} {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}

Orijinal ana dalgacık a = 1 {\displaystyle a=1}{\displaystyle a=1} ve b = 0 {\displaystyle b=0}{\displaystyle b=0} parametrelerine sahiptir. Öteleme b {\displaystyle b}{\displaystyle b} parametresi ve dilatasyon a {\displaystyle a}a parametresi ile tanımlanır.