Hilbert uzayı, Öklid uzayının ekstra boyutlu kullanımını, yani üçten fazla boyutu olan bir uzayı kapsayan matematiksel bir kavramdır. Bir Hilbert uzayı, üç boyuttan daha büyük boyutlarda neler olduğunu tanımlamaya çalışmak için iki ve üç boyut matematiğini kullanır. Adını David Hilbert'ten almıştır.
Vektör cebiri ve kalkülüs normalde iki boyutlu Öklid düzleminde ve üç boyutlu uzayda kullanılan yöntemlerdir. Hilbert uzaylarında, bu yöntemler herhangi bir sonlu veya sonsuz sayıda boyutla kullanılabilir. Bir Hilbert uzayı, uzunluk ve açının ölçülmesine izin veren bir iç çarpım yapısına sahip bir vektör uzayıdır. Hilbert uzayları aynı zamanda tam olmak zorundadır, bu da kalkülüsün çalışması için yeterli limitin var olması gerektiği anlamına gelir.
İlk Hilbert uzayları 20. yüzyılın ilk on yılında David Hilbert, Erhard Schmidt ve Frigyes Riesz tarafından çalışılmıştır. "Hilbert Uzayı" adını ilk olarak John von Neumann bulmuştur. Hilbert uzayı yöntemleri fonksiyonel analizde büyük bir fark yarattı.
Hilbert uzayları matematik, fizik ve mühendislikte sıklıkla sonsuz boyutlu fonksiyon uzayları olarak karşımıza çıkar. Özellikle kısmi diferansiyel denklemler, kuantum mekaniği, Fourier analizi (sinyal işleme ve ısı transferini içerir) çalışmak için kullanışlıdırlar. Hilbert uzayları termodinamiğin matematiksel temeli olan ergodik teoride kullanılır. Tüm normal Öklid uzayları aynı zamanda Hilbert uzaylarıdır. Hilbert uzaylarının diğer örnekleri arasında kareyle bütünleştirilebilir fonksiyonların uzayları, dizilerin uzayları, genelleştirilmiş fonksiyonlardan oluşan Sobolev uzayları ve holomorfik fonksiyonların Hardy uzayları yer alır.
