Gauss eliminasyonu

Matematikte, Gauss eliminasyonu (satır indirgeme olarak da adlandırılır) doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bir yöntemdir. Adını, bu yöntem hakkında yazan ancak icat etmeyen ünlü Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'tan alır.

Gauss eliminasyonunu gerçekleştirmek için, doğrusal denklem sistemindeki terimlerin katsayıları, artırılmış matris adı verilen bir matris türü oluşturmak için kullanılır. Ardından, matrisi basitleştirmek için temel satır işlemleri kullanılır. Kullanılan üç tür satır işlemi şunlardır:

Tip 1: Bir satırın başka bir satırla değiştirilmesi.

Tip 2: Bir satırın sıfır olmayan bir sayı ile çarpılması.

Tip 3: Bir satırın başka bir satıra eklenmesi veya çıkarılması.

Gauss eliminasyonunun amacı matrisi satır-ekelon formunda elde etmektir. Bir matrisin satır-ekelon formunda olması, soldan sağa doğru okunduğunda her satırın bir üstündeki satırdan en az bir sıfır terimle başlayacağı anlamına gelir. Gauss eliminasyonunun bazı tanımları, matris sonucunun indirgenmiş satır-ekelon formunda olması gerektiğini söyler. Bu, matrisin satır-ekelon formunda olduğu ve her satırdaki sıfır olmayan tek terimin 1 olduğu anlamına gelir. İndirgenmiş satır-ekelon matris sonucu yaratan Gauss eliminasyonuna bazen Gauss-Jordan eliminasyonu denir.

Örnek

Amacın bu doğrusal denklem sisteminin yanıtlarını bulmak olduğunu varsayalım.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

İlk olarak, sistemin artırılmış bir matrise dönüştürülmesi gerekmektedir. Artırılmış bir matriste, her bir doğrusal denklem bir satır haline gelir. Artırılmış matrisin bir tarafında, doğrusal denklemdeki her terimin katsayıları matristeki sayılar haline gelir. Artırılmış matrisin diğer tarafında ise her bir doğrusal denklemin eşit olduğu sabit terimler yer alır. Bu sistem için artırılmış matris şöyledir:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Daha sonra, basitleştirmek için artırılmış matris üzerinde satır işlemleri yapılabilir. Aşağıdaki tablo, denklem sistemi ve artırılmış matris üzerindeki satır azaltma işlemini göstermektedir.

Denklemler sistemi	Satır işlemleri	Artırılmış matris
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&y&&\;-&\;z&&\;=\;&&8&\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&y\;&&-&\;z\;&&=\;&&8&\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Matris artık satır-ekelon formundadır. Buna üçgen form da denir.

Denklem sistemi	Satır işlemleri	Artırılmış matris
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ - R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Matris şimdi indirgenmiş satır-ekelon formundadır. Bu matrisi okumak bize bu denklem sisteminin çözümlerinin x = 2, y = 3 ve z = -1 olduğunda gerçekleştiğini söyler.

Sorular ve Yanıtlar

S: Gauss eliminasyonu nedir?

C: Gauss eliminasyonu, matematikte doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bir yöntemdir.

S: Adını kimden almıştır?

C: Adını, bu yöntem hakkında yazan ancak icat etmeyen ünlü Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'tan alır.

S: Gauss eliminasyonu nasıl gerçekleştirilir?

C: Gauss eliminasyonu, artırılmış bir matris oluşturmak için doğrusal denklem sistemindeki terimlerin katsayıları kullanılarak gerçekleştirilir. Daha sonra, matrisi basitleştirmek için temel satır işlemleri kullanılır.

S: Gauss eliminasyonunda kullanılan üç tip satır işlemi nedir?

C: Gauss eliminasyonunda kullanılan üç tür satır işlemi şunlardır: Bir satırı başka bir satırla değiştirme, Bir satırı sıfır olmayan bir sayı ile çarpma ve Bir satırı başka bir satıra ekleme veya çıkarma.

S: Gauss eliminasyonunun amacı nedir?

C: Gauss eliminasyonunun amacı matrisi satır-ekelon formunda elde etmektir.

S: Satır-ekelon formu nedir?

C: Bir matrisin satır-ekelon formunda olması, soldan sağa doğru okunduğunda her satırın bir üstündeki satırdan en az bir sıfır terimle başlayacağı anlamına gelir.

S: İndirgenmiş satır-ekelon formu nedir?

C: İndirgenmiş satır-ekelon formu, matrisin satır-ekelon formunda olduğu ve her satırdaki sıfır olmayan tek terimin 1 olduğu anlamına gelir. İndirgenmiş satır-ekelon matris sonucu yaratan Gauss eliminasyonuna bazen Gauss-Jordan eliminasyonu da denir.