Birleşik gaz kanunu

Boyle Yasası, basınç-hacim çarpımının sabit olduğunu belirtir:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}

Charles Yasası, hacmin mutlak sıcaklıkla orantılı olduğunu gösterir:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}

Gay-Lussac Yasası, basıncın mutlak sıcaklıkla orantılı olduğunu söyler:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

Burada P basınç, V hacim ve T ideal bir gazın mutlak sıcaklığıdır.

(1) ve (2) veya (3)'ten birini birleştirerek P, V ve T ile yeni bir denklem elde edebiliriz. (1) denklemini sıcaklığa bölersek ve (2) denklemini basınçla çarparsak elde ederiz:

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P} .

Her iki denklemin sol tarafı aynı olduğundan, aşağıdaki sonuçlara ulaşırız

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P} ,

Bu da demek oluyor ki

P V T = sabit {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {constant}} .

Avogadro Yasası'nda yerine koyulduğunda ideal gaz denklemi elde edilir.

Birleşik gaz yasasının sadece temel cebir kullanılarak türetilmesi sürprizler içerebilir. Örneğin, üç ampirik yasadan başlayarak

P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\! }           (1) Gay-Lussac Yasası, hacim sabit varsayılır

V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\! }           (2) Charles Yasası, basınç sabit varsayılır

P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\! }           (3) Boyle Yasası, sıcaklık sabit varsayılır

Burada k_V , k_P ve k_T sabitlerdir, üçünü birlikte çarparak aşağıdakileri elde edebiliriz

P V P V = k V T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\! }

Her iki tarafın karekökünü almak ve T'ye bölmek istenen sonucu veriyor gibi görünmektedir

P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}\,\! }

Ancak, yukarıdaki prosedürü uygulamadan önce Boyle Yasası'ndaki terimler yeniden düzenlenirse, k_T = PV, iptal edilip yeniden düzenlendikten sonra şu sonuç elde edilir

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}=T^{2}\,\! }

Bu da yanıltıcı değilse bile pek yardımcı olmuyor.

Daha uzun ama daha güvenilir olan fiziksel bir türetme, Gay-Lussac yasasındaki sabit hacim parametresinin sistem hacmi değiştikçe değişeceğini fark ederek başlar. Sabit hacimde, V₁ yasa P = k₁ T olarak görünebilirken, sabit hacimde V₂ P = k₂ T olarak görünebilir. Bu "değişken sabit hacmi" k_V (V) ile göstererek, yasayı şu şekilde yeniden yazın

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\! }           (4)

Aynı düşünce, Charles yasasındaki sabit için de geçerlidir ve yeniden yazılabilir

V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\! }           (5)

k_V (V)'yi bulmaya çalışırken, (4) ve (5) arasında T'yi düşünmeden elimine etmemek gerekir, çünkü P ilkinde değişkendir, ikincisinde ise sabit olduğu varsayılır. Bunun yerine, öncelikle bu denklemlerin hangi anlamda birbiriyle uyumlu olduğu belirlenmelidir. Bu konuda fikir edinmek için, herhangi iki değişkenin üçüncüyü belirlediğini hatırlayın. P ve V'yi bağımsız olarak seçerek, T değerlerinin PV düzleminin üzerinde bir yüzey oluşturduğunu düşünebiliriz. Belirli bir V₀ ve P₀ bu yüzey üzerinde bir nokta olan bir T₀ tanımlar. Bu değerleri (4) ve (5)'te yerine koyup yeniden düzenlediğimizde

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad ve\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}

Bunların her ikisi de yüzeyde aynı noktada neler olduğunu tanımladığından, iki sayısal ifade eşitlenebilir ve yeniden düzenlenebilir

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}\,\! }           (6)

1/k_V (V₀ ) ve 1/k_P (P₀ ) P eksenine/V eksenine paralel ve PV düzleminin üzerindeki yüzeyde o noktadan geçen ortogonal çizgilerin eğimleri olduğuna dikkat edin. Bu iki doğrunun eğimlerinin oranı sadece o noktadaki P₀ /V₀ değerine bağlıdır.

(6)'nın fonksiyonel formunun seçilen belirli noktaya bağlı olmadığını unutmayın. Aynı formül, P ve V değerlerinin başka herhangi bir kombinasyonu için de ortaya çıkabilirdi. Bu nedenle, şu şekilde yazılabilir

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \forall P,\forall V} (7)

Bu, yüzeydeki her noktanın, eğim oranları yalnızca o noktaya bağlı olan, içinden geçen kendi ortogonal doğru çiftine sahip olduğunu söyler. (6) belirli eğimler ve değişken değerleri arasındaki bir ilişki iken, (7) eğim fonksiyonları ve fonksiyon değişkenleri arasındaki bir ilişkidir. Yüzey üzerindeki herhangi bir nokta için, yani P ve V değerlerinin herhangi bir ve tüm kombinasyonları için geçerlidir. Bu denklemi k_V (V) fonksiyonu için çözmek için, önce değişkenleri ayırın, V solda ve P sağda.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}

Herhangi bir P basıncı seçin₁ . Sağ taraf keyfi bir değere değerlendirilir, buna k_arb diyelim.

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\! }           (8)

Bu özel denklem şimdi sadece V'nin bir değeri için değil, V'nin tüm değerleri için doğru olmalıdır. k_V (V)'nin tüm V ve keyfi k_arb için bunu garanti eden tek tanımı şudur

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}} (9)

Bu da (8)'de yerine konularak doğrulanabilir.

Son olarak, (9) Gay-Lussac yasasında (4) yerine konur ve yeniden düzenlenirse birleşik gaz yasası elde edilir

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\! }

Bu türetmede Boyle yasası kullanılmamış olsa da, sonuçtan kolayca çıkarılabileceğini unutmayın. Genel olarak, bu tür bir türetmede gerekli olan tek şey üç başlangıç yasasından herhangi ikisidir - tüm başlangıç çiftleri aynı birleşik gaz yasasına götürür.

Birleşik gaz yasası, basınç, sıcaklık ve hacmin etkilendiği mekaniği açıklamak için kullanılabilir. Örneğin: klimalar, buzdolapları ve bulutların oluşumu ve ayrıca akışkanlar mekaniği ve termodinamikte kullanılır.

• Dalton Yasası