Süreklilik hipotezi

Süreklilik hipotezi, hem doğal sayılardan daha büyük hem de gerçek sayılardan daha küçük bir küme olmadığı hipotezidir. Georg Cantor bu hipotezi 1877 yılında ifade etmiştir.

Sonsuz sayıda doğal sayı vardır, doğal sayılar kümesinin kardinalitesi sonsuzdur. Bu gerçek sayılar kümesi için de geçerlidir, ancak doğal sayılardan daha fazla gerçek sayı vardır. Doğal sayıların sonsuz kardinaliteye sahip olduğunu ve reel sayıların sonsuz kardinaliteye sahip olduğunu söylüyoruz, ancak reel sayıların kardinalitesi doğal sayıların kardinalitesinden daha büyüktür.

Bu hipotez, David Hilbert'in 1900 yılında yayınladığı 23 problemlik listedeki ilk problemdir. Kurt Gödel 1939'da bu hipotezin Zermelo-Fraenkel küme teorisi kullanılarak yanlışlanamayacağını göstermiştir. Zermelo-Fraenkel küme teorisi matematikte yaygın olarak kullanılan küme teorisidir. Paul Cohen 1960'larda Zermelo-Fraenkel küme teorisinin süreklilik hipotezini kanıtlamak için de kullanılamayacağını göstermiştir. Bunun için Cohen Fields Madalyası ile ödüllendirilmiştir.

Sorular ve Yanıtlar

S: Süreklilik hipotezi nedir?

C: Süreklilik hipotezi, hem doğal sayılardan daha büyük hem de reel sayılardan daha küçük bir küme olmadığı hipotezidir.

S: Süreklilik hipotezini kim ve ne zaman ifade etmiştir?

C: Georg Cantor süreklilik hipotezini 1877 yılında ifade etmiştir.

S: Sonsuz sayıda doğal sayı var mıdır?

C: Evet, sonsuz sayıda doğal sayı vardır.

S: Doğal sayılar kümesinin kardinalitesi nedir?

C: Doğal sayılar kümesinin kardinalitesi sonsuzdur.

S: Doğal sayılardan daha fazla reel sayı var mıdır?

C: Evet, doğal sayılardan daha fazla gerçek sayı vardır.

S: Süreklilik hipotezi Zermelo-Fraenkel küme teorisi kullanılarak yanlışlanabilir mi?

C: Kurt Gödel 1939'da hipotezin Zermelo-Fraenkel küme teorisi kullanılarak yanlışlanamayacağını göstermiştir.

S: Zermelo-Fraenkel küme teorisinin süreklilik hipotezini kanıtlamak için kullanılamayacağını kim gösterdi?

C: Paul Cohen 1960'larda Zermelo-Fraenkel küme teorisinin süreklilik hipotezini kanıtlamak için kullanılamayacağını göstermiştir.