Belirleyici
Bir kare matrisin determinantı, o matrisin nasıl davrandığı hakkında size bir şeyler söyleyen bir skalerdir (bir sayıdır). Determinantı matristeki sayılardan hesaplayabilirsiniz.
"A matrisinin determinantı {\displaystyle A} 
" bir formülde det ( A ) {\displaystyle \det(A)}
veya | A | {\displaystyle |A|}
şeklinde yazılır. Bazen det ( [ a b c d ] ) yerine {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)}
ve | [ a b c d ] | {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|} 
det [ a b c d ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}
ve | a b c d | {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|}
yazıyoruz.
Yorumlama
Determinantın matris hakkında ne söylediğini anlamanın birkaç yolu vardır.
Geometrik yorumlama
Bir n × n {\displaystyle n\times n}
matrisi, n {\displaystyle n}
boyutlarında doğrusal bir haritayı tanımlıyor olarak görülebilir. Bu durumda, determinant size bu matrisin n {\displaystyle n} boyutlu uzayın bir bölgesini hangi faktörle ölçeklendirdiğini (büyüttüğünü veya küçülttüğünü) söyler.
Örneğin, 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2}
matris A {\displaystyle A} doğrusal bir harita olarak görüldüğünde, 2 boyutlu uzaydaki bir kareyi paralelkenara dönüştürecektir. Bu paralelkenarın alanı karenin alanının det ( A ) {\displaystyle \det(A)} katı büyüklüğünde olacaktır.
Aynı şekilde, doğrusal bir harita olarak görülen 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3}
matris B {\displaystyle B}
, 3 boyutlu uzaydaki bir küpü paralel yüzeye dönüştürecektir. Bu paralel yüzlünün hacmi det ( B ) {\displaystyle \det(B)}
küpün hacminden kat kat büyük olacaktır.
Determinant negatif olabilir. Doğrusal bir harita bir hacmi genişletebilir ve ölçeklendirebilir, ancak aynı zamanda bir eksen üzerinde yansıtabilir. Bu her gerçekleştiğinde, determinantın işareti pozitiften negatife veya negatiften pozitife değişir. Negatif bir determinant, hacmin tek sayıda eksen üzerinde yansıtıldığı anlamına gelir.
"Denklemler sistemi" yorumu
Bir matrisi, bir doğrusal denklem sistemini tanımlıyor olarak görebilirsiniz. Bu sistem, determinant 0 olmadığında tam olarak önemsiz olmayan benzersiz bir çözüme sahiptir. (Önemsiz olmayan, çözümün sadece sıfırdan ibaret olmadığı anlamına gelir).
Determinant sıfırsa, ya önemsiz olmayan tek bir çözüm yoktur ya da sonsuz sayıda çözüm vardır.
2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} matrisi için [ a c b d ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}} 
'nin determinantı bir paralelkenarın alanıdır. (Alan a d - b c {\displaystyle ad-bc}
'ye eşittir).
Tekil matrisler
Bir matris, determinantı 0 olmadığında tam olarak bir ters matrise sahiptir. Bu nedenle determinantı sıfır olmayan bir matris ters çevrilebilir olarak adlandırılır. Determinant 0 ise, matris ters çevrilemez veya tekil olarak adlandırılır.
Geometrik olarak, tekil bir matrisi, paralel yüzlüyü bir paralelkenara veya bir paralelkenarı bir doğruya "düzleştirmek" olarak düşünebilirsiniz. O zaman hacim veya alan 0'dır ve eski şekli geri getirecek doğrusal bir harita yoktur.
Bir determinantın hesaplanması
Bir determinantı hesaplamanın birkaç yolu vardır.
Küçük matrisler için formüller
- 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1}
ve 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} matrisleri için formülleri hatırlayabilirsiniz:
det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. } 
- 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} matrisler için formül şöyledir:
det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} 
Bu formülü hatırlamak için Sarrus Kuralı'nı (resme bakın) kullanabilirsiniz.
Kofaktör genişlemesi
Daha büyük matrisler için determinantı hesaplamak daha zordur. Bunu yapmanın bir yolu kofaktör açılımı olarak adlandırılır.
Diyelim ki elimizde n × n {\displaystyle n\times n} matris A {\displaystyle A} var. İlk olarak, matrisin herhangi bir satırını veya sütununu seçiyoruz. Bu satır veya sütundaki her a i j {\displaystyle a_{ij}}
sayısı için, kofaktörü C i j {\displaystyle C_{ij}} olarak adlandırılan bir şey hesaplarız. 
. Sonra det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}} 
.
Böyle bir kofaktörü hesaplamak için C i j {\displaystyle C_{ij}} A {\displaystyle A} matrisinden i {\displaystyle i}
satırını ve j {\displaystyle j}
sütununu sileriz. Bu bize daha küçük bir ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)}
matrisi verir. Buna M {\displaystyle M}
diyoruz. Kofaktör C i j {\displaystyle C_{ij}} o zaman ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)}
eşittir.
Burada 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} matrisinin sol sütununun kofaktör açılımına bir örnek verilmiştir:
det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = - 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\&=-11.\end{aligned}} 
Burada görebileceğiniz gibi, çok sayıda sıfır içeren bir satır veya sütun seçerek işten tasarruf edebiliriz. Eğer a i j {\displaystyle a_{ij}} 0 ise, C i j {\displaystyle C_{ij}} hesaplamamıza gerek yoktur. .
3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} determinant formülü bir çarpımlar toplamıdır. Bu çarpımlar, matrisin üst kısmına "sarılan" köşegenler boyunca ilerler. Bu hileye Sarrus Kuralı denir.
Sorular ve Yanıtlar
S: Determinant nedir?
C: Determinant, bir kare matrisin nasıl davrandığını gösteren bir skalerdir (bir sayı).
S: Bir matrisin determinantı nasıl hesaplanabilir?
C: Matrisin determinantı matristeki sayılardan hesaplanabilir.
S: Bir matrisin determinantı nasıl yazılır?
C: Bir matrisin determinantı bir formülde det(A) veya |A| olarak yazılır.
S: Bir matrisin determinantını yazmanın başka yolları var mıdır?
C: Evet, det([a b c d]) ve |[a b c d]| yerine basitçe det [a b c d] ve |[a b c d]| yazılabilir.
S: "Skaler" dediğimizde bu ne anlama gelir?
C: Skaler, büyüklüğü olan ancak kendisiyle ilişkili bir yönü olmayan bireysel bir sayı veya niceliktir.
S: Kare matrisler nedir?
C: Kare matrisler, 2x2 veya 3x3 matrisler gibi eşit sayıda satır ve sütuna sahip matrislerdir.
