Belirleyici

Determinantın matris hakkında ne söylediğini anlamanın birkaç yolu vardır.

Geometrik yorumlama

Bir n × n {\displaystyle n\times n} matrisi, n {\displaystyle n} boyutlarında doğrusal bir haritayı tanımlıyor olarak görülebilir. Bu durumda, determinant size bu matrisin n {\displaystyle n} boyutlu uzayın bir bölgesini hangi faktörle ölçeklendirdiğini (büyüttüğünü veya küçülttüğünü) söyler.

Örneğin, 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} matris A {\displaystyle A} doğrusal bir harita olarak görüldüğünde, 2 boyutlu uzaydaki bir kareyi paralelkenara dönüştürecektir. Bu paralelkenarın alanı karenin alanının det ( A ) {\displaystyle \det(A)} katı büyüklüğünde olacaktır.

Aynı şekilde, doğrusal bir harita olarak görülen 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} matris B {\displaystyle B} , 3 boyutlu uzaydaki bir küpü paralel yüzeye dönüştürecektir. Bu paralel yüzlünün hacmi det ( B ) {\displaystyle \det(B)} küpün hacminden kat kat büyük olacaktır.

Determinant negatif olabilir. Doğrusal bir harita bir hacmi genişletebilir ve ölçeklendirebilir, ancak aynı zamanda bir eksen üzerinde yansıtabilir. Bu her gerçekleştiğinde, determinantın işareti pozitiften negatife veya negatiften pozitife değişir. Negatif bir determinant, hacmin tek sayıda eksen üzerinde yansıtıldığı anlamına gelir.

"Denklemler sistemi" yorumu

Bir matrisi, bir doğrusal denklem sistemini tanımlıyor olarak görebilirsiniz. Bu sistem, determinant 0 olmadığında tam olarak önemsiz olmayan benzersiz bir çözüme sahiptir. (Önemsiz olmayan, çözümün sadece sıfırdan ibaret olmadığı anlamına gelir).

Determinant sıfırsa, ya önemsiz olmayan tek bir çözüm yoktur ya da sonsuz sayıda çözüm vardır.

Bir matris, determinantı 0 olmadığında tam olarak bir ters matrise sahiptir. Bu nedenle determinantı sıfır olmayan bir matris ters çevrilebilir olarak adlandırılır. Determinant 0 ise, matris ters çevrilemez veya tekil olarak adlandırılır.

Geometrik olarak, tekil bir matrisi, paralel yüzlüyü bir paralelkenara veya bir paralelkenarı bir doğruya "düzleştirmek" olarak düşünebilirsiniz. O zaman hacim veya alan 0'dır ve eski şekli geri getirecek doğrusal bir harita yoktur.

Bir determinantı hesaplamanın birkaç yolu vardır.

Küçük matrisler için formüller

• 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} ve 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} matrisleri için formülleri hatırlayabilirsiniz:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. }

• 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} matrisler için formül şöyledir:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Bu formülü hatırlamak için Sarrus Kuralı'nı (resme bakın) kullanabilirsiniz.

Kofaktör genişlemesi

Daha büyük matrisler için determinantı hesaplamak daha zordur. Bunu yapmanın bir yolu kofaktör açılımı olarak adlandırılır.

Diyelim ki elimizde n × n {\displaystyle n\times n} matris A {\displaystyle A} var. İlk olarak, matrisin herhangi bir satırını veya sütununu seçiyoruz. Bu satır veya sütundaki her a i j {\displaystyle a_{ij}} sayısı için, kofaktörü C i j {\displaystyle C_{ij}} olarak adlandırılan bir şey hesaplarız. . Sonra det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}} .

Böyle bir kofaktörü hesaplamak için C i j {\displaystyle C_{ij}} A {\displaystyle A} matrisinden i {\displaystyle i} satırını ve j {\displaystyle j} sütununu sileriz. Bu bize daha küçük bir ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} matrisi verir. Buna M {\displaystyle M} diyoruz. Kofaktör C i j {\displaystyle C_{ij}} o zaman ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} eşittir.

Burada 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} matrisinin sol sütununun kofaktör açılımına bir örnek verilmiştir:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = - 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\&=-11.\end{aligned}}

Burada görebileceğiniz gibi, çok sayıda sıfır içeren bir satır veya sütun seçerek işten tasarruf edebiliriz. Eğer a i j {\displaystyle a_{ij}} 0 ise, C i j {\displaystyle C_{ij}} hesaplamamıza gerek yoktur. .

• Cilt