Parallelepiped

Üç çift paralel yüzden herhangi biri prizmanın taban düzlemleri olarak görülebilir. Bir paralel yüzlü, dört paralel kenardan oluşan üç kümeye sahiptir; her küme içindeki kenarlar eşit uzunluktadır.

Paralel yüzlüler bir küpün doğrusal dönüşümlerinden kaynaklanır (dejenere olmayan durumlar için: bijective doğrusal dönüşümler).

Her yüz nokta simetrisine sahip olduğundan, paralel yüzlü bir zonohedrondur. Ayrıca tüm paralel yüzlü nokta simetrisine sahiptir C_i (ayrıca bkz. triklinik). Her yüz, dışarıdan bakıldığında, karşı yüzün ayna görüntüsüdür. Yüzler genel olarak kiraldir, ancak paralel yüzlü değildir.

Herhangi bir paralel yüzlünün uyumlu kopyaları ile uzay dolduran bir mozaikleme mümkündür.

Bir paralel yüzlünün hacmi, A tabanının alanı ile h yüksekliğinin çarpımıdır. Taban, paralel yüzlünün altı yüzünden herhangi biridir. Yükseklik, taban ile karşı yüz arasındaki dik mesafedir.

Alternatif bir yöntem, bir tepe noktasında buluşan üç kenarı temsil etmek üzere a = (a₁ , a₂ , a₃ ), b = (b , b₁₂ , b₃ ) ve c = (c , c₁₂ , c₃ ) vektörlerini tanımlar. Paralel yüzeyin hacmi, a - (b × c) skaler üçlü çarpımının mutlak değerine eşittir:

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Bu doğrudur, çünkü tabanın kenarlarını temsil etmek üzere b ve c'yi seçersek, tabanın alanı, çapraz çarpımın tanımı gereğidir (çapraz çarpımın geometrik anlamına bakınız),

A = | b | | c | sin θ = b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \sağ|\sol|\mathbf {c} \sağ|\sin \theta =\sol|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

Burada θ, b ve c arasındaki açıdır ve yükseklik

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

Burada α, a ve h arasındaki iç açıdır.

Şekilden, α büyüklüğünün 0° ≤ α < 90° ile sınırlı olduğu sonucunu çıkarabiliriz. Aksine, b × c vektörü a ile 90°'den daha büyük bir β iç açısı oluşturabilir (0° ≤ β ≤ 180°). Yani, b × c h'ye paralel olduğundan, β'nın değeri ya β = α ya da β = 180° - α'dır.

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

ve

h = | a | | cos β | . {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|. }

Şu sonuca varıyoruz

V = A h = | a | | b × c | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \sağ|\sol|\cos \beta \sağ|,}

Bu da skaler (veya nokta) çarpımın tanımı gereği a - (b × c)'nin mutlak değerine eşittir, Q.E.D.

İkinci ifade aynı zamanda a, b ve c satır (veya sütun) olarak kullanılarak oluşturulan üç boyutlu bir matrisin determinantının mutlak değerine eşdeğerdir:

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Bu, orijinalden bulunan üç indirgenmiş iki boyutlu matris üzerinde Cramer Kuralı kullanılarak bulunur.

Eğer a, b ve c paralel yüzlü kenar uzunlukları ve α, β ve γ kenarlar arasındaki iç açılar ise, hacim

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Karşılık gelen tetrahedron

Bir paralel yüzlünün birleşen üç kenarını paylaşan herhangi bir dörtyüzlünün hacmi, o paralel yüzlünün hacminin altıda birine eşittir (ispata bakınız).

Simetri düzlemine sahip paralel yüzlüler için iki durum söz konusudur:

• dört dikdörtgen yüzü vardır
• iki eşkenar dörtgen yüzü vardır, diğer yüzlerden bitişik iki tanesi eşittir ve diğer ikisi de aynıdır (iki çift birbirinin ayna görüntüsüdür).

Ayrıca bkz. monoklinik.

Dikdörtgen paralel yüzlü veya bazen sadece küboid olarak da adlandırılan dikdörtgen küboid, tüm yüzleri dikdörtgen olan bir paralel yüzlüdür; küp ise kare yüzlü bir küboiddir.

Eşkenar dörtgen, tüm eşkenar dörtgen yüzlere sahip bir paralel yüzlüdür; trigonal trapezohedron ise eşkenar dörtgen yüzlere sahip bir eşkenar dörtgendir.

Mükemmel bir paralel yüzlü, tam sayı uzunluğunda kenarları, yüz köşegenleri ve uzay köşegenleri olan bir paralel yüzlüdür. 2009 yılında, Richard Guy'ın açık bir sorusunu yanıtlayan düzinelerce mükemmel paralel yüzlünün var olduğu gösterilmiştir. Bir örnekte kenarlar 271, 106 ve 103, küçük yüz köşegenleri 101, 266 ve 255, büyük yüz köşegenleri 183, 312 ve 323 ve uzay köşegenleri 374, 300, 278 ve 272'dir.

İki dikdörtgen yüze sahip bazı mükemmel paralel yüzlüler bilinmektedir. Ancak tüm yüzleri dikdörtgen olan herhangi bir tane olup olmadığı bilinmemektedir; böyle bir durum mükemmel küboid olarak adlandırılır.

Coxeter, bir paralel yüzlünün daha yüksek boyutlardaki genellemesine paralelotop adını vermiştir.

Özellikle n boyutlu uzayda buna n boyutlu paralelotop ya da kısaca n-paralelotop denir. Dolayısıyla bir paralelkenar 2-paralelotop ve bir paralel yüzlü 3-paralelotoptur.

Daha genel olarak bir paralelotop veya voronoi paralelotopu, paralel ve uyumlu zıt yüzlere sahiptir. Dolayısıyla 2-paralelotop, belirli altıgenleri de içerebilen bir paralelogondur ve 3-paralelotop, 5 tip çokyüzlü içeren bir paralel yüzlüdür.

Bir n-paralelotopun köşegenleri bir noktada kesişir ve bu nokta tarafından ikiye ayrılır. Bu noktadaki ters çevirme n-paralelotopu değişmeden bırakır. Öklid uzayında izometri gruplarının sabit noktalarına da bakınız.

Bir k-paralelotopun bir tepe noktasından yayılan kenarlar, vektör uzayının bir k-çerçevesini ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} oluşturur ve paralelotop, vektörlerin 0 ile 1 arasındaki ağırlıklarla doğrusal kombinasyonlarını alarak bu vektörlerden kurtarılabilir.

R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} içine gömülü n-paralelotopun n-hacmi, burada m ≥ n {\displaystyle m\geq n} Gram determinant aracılığıyla hesaplanabilir. Alternatif olarak, hacim vektörlerin dış çarpımının normudur:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Eğer m = n ise, bu n vektörün determinantının mutlak değerine eşittir.

R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} içinde bir n-paralelotop P'nin hacmini hesaplamak için başka bir formül n + 1 köşesi V 0 , V 1 , ... , V n olan {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} , olduğunu

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

Burada [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} , V i {\displaystyle V_{i}} ve 1'in birleştirilmesiyle oluşturulan satır vektörüdür. Aslında, [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} , [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} 'den çıkarılırsa (i > 0) determinant değişmez ve [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} 'yi son konuma yerleştirmek sadece işaretini değiştirir.

Benzer şekilde, bir paralelotopun n yakınsak kenarını paylaşan herhangi bir n-simpleksin hacmi, o paralelotopun hacminin 1/n'ine eşittir.

Kelime, Sir Henry Billingsley'in 1570 tarihli Euclid's Elements çevirisinde paralelipipedon olarak geçmektedir. Pierre Hérigone, Cursus mathematicus'un 1644 tarihli baskısında parallelepipedum yazımını kullanmıştır. Oxford İngilizce Sözlüğü, günümüzdeki paralel yüzlü kelimesinin ilk olarak Walter Charleton'un Chorea gigantum (1663) adlı eserinde geçtiğini belirtmektedir.

Charles Hutton'un Sözlüğü (1795), ikinci unsur epipedon yerine pipedon'muş gibi paralelo- birleştirme biçiminin etkisini gösteren paralelelopiped ve paralelelopipedon'u gösterir. Noah Webster (1806) paralelelopiped yazımını içermektedir. Oxford İngilizce Sözlüğü'nün 1989 baskısında paralelelopiped (ve paralelipiped) açıkça yanlış biçimler olarak tanımlanır, ancak bunlar 2004 baskısında yorum yapılmadan listelenir ve yalnızca beşinci hecedeki pi (/paɪ/) vurgusu ile telaffuzlar verilir.

Geleneksel telaffuzdan uzaklaşılması, Yunanca köklerin önerdiği farklı bölümü gizlemiştir; epi- ("üzerinde") ve pedon ("zemin") birleşerek düz bir "düzlem" olan epiped'i verir. Böylece paralel yüzlü bir cismin yüzleri düzlemseldir ve karşılıklı yüzler paraleldir.