Matris (matematik)

Tanımlar ve gösterimler

Bir matristeki yatay çizgiler satır, dikey çizgiler ise sütun olarak adlandırılır. M satırlı ve n sütunlu bir matrise m'ye n matris (veya m×n matris), m ve n'ye de boyutları denir.

Matriste sayıların bulunduğu yerlere girişler denir. Bir A matrisinin i satır numarası ve j sütun numarasında bulunan girişine A'nın i,j girişi denir. Bu A[i,j] veya a_i,j olarak yazılır.

A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}} yazarak m × n matris A'yı tanımlarız ve matristeki her bir girdiye tüm 1 ≤ i ≤ m ve 1 ≤ j ≤ n için_i,j denir.

Örnek

Matris

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&1&5\end{bmatrix}}

4×3'lük bir matristir. Bu matrisin m=4 satırı ve n=3 sütunu vardır.

A[2,3] ya da_2,3 öğesi 7'dir.

Operasyonlar

İlave

İki matrisin toplamı, (i,j)-inci girişi iki matrisin (i,j)-inci girişlerinin toplamına eşit olan matristir:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

İki matrisin boyutları aynıdır. Burada A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} doğrudur.

İki matrisin çarpımı

İki matrisin çarpımı biraz daha karmaşıktır:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\end{bmatrix}}

Sayılar da öyle:

[3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• İlk matristeki sütun sayısı ikinci matristeki satır sayısına eşit olduğu sürece, farklı boyutlara sahip olsalar bile iki matris birbiriyle çarpılabilir.
• Çarpım olarak adlandırılan çarpma işleminin sonucu, ilk matrisle aynı sayıda satıra ve ikinci matrisle aynı sayıda sütuna sahip başka bir matristir.
• matrislerin çarpımı değişmeli değildir, bu da genel olarak A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A} anlamına gelir.
• matrislerin çarpımı ilişkiseldir, yani ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

Özel matrisler

Özel olan bazı matrisler vardır.

Kare matris

Kare bir matrisin satır sayısı sütun sayısı ile aynıdır, yani m=n.

Bir kare matris örneği şöyledir

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}}5&-2&4\\0&9&1\\-7&6&8\\\end{bmatrix}}

Bu matrisin 3 satırı ve 3 sütunu vardır: m=n=3.

Kimlik

Bir matrisin her kare boyut kümesinin "kimlik matrisi" adı verilen özel bir karşılığı vardır. Özdeşlik matrisi, tüm birlerin bulunduğu ana köşegen dışında sıfırlardan başka hiçbir şeye sahip değildir. Örneğin:

[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1\\end{bmatrix}}

bir kimlik matrisidir. Her kare boyut kümesi için tam olarak bir kimlik matrisi vardır. Özdeşlik matrisi özeldir çünkü herhangi bir matris özdeşlik matrisi ile çarpıldığında sonuç her zaman orijinal matristir ve hiçbir değişiklik olmaz.

Ters matris

Ters matris, başka bir matrisle çarpıldığında özdeşlik matrisine eşit olan bir matristir. Örneğin:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\0&1\\\end{bmatrix}}

[7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\end{bmatrix}} [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\end{bmatrix}}} 'nin tersidir.

2x2'lik bir matrisin tersi için formül, [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}} şeklindedir:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\-z&x\end{bmatrix}}

Burada d e t {\displaystyle det} matrisin determinantıdır. 2x2'lik bir matriste determinant şuna eşittir:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Tek sütunlu matris

Çok sayıda satırı, ancak yalnızca bir sütunu olan bir matrise sütun vektörü denir.

Belirleyiciler

Determinant bir kare matris alır ve basit bir sayı, bir skaler hesaplar. Bu sayının ne anlama geldiğini anlamak için matrisin her bir sütununu alın ve bir vektör olarak çizin. Bu vektörler tarafından çizilen paralelkenarın bir alanı vardır ve bu alan determinanttır. Tüm 2x2 matrisler için formül çok basittir: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}

3x3 matrisler için formül daha karmaşıktır: det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Daha büyük matrislerin determinantları için basit formüller yoktur ve birçok bilgisayar programcısı, bilgisayarların büyük determinantları hızlı bir şekilde nasıl bulacaklarını araştırmaktadır.

Determinantların özellikleri

Tüm belirleyicilerin izlediği üç kural vardır. Bunlar:

• Bir özdeşlik matrisinin determinantı 1'dir
• Matrisin iki satırı veya iki sütunu değiştirilirse, determinant -1 ile çarpılır. Matematikçiler buna dönüşümlü derler.
• Bir satır veya sütundaki tüm sayılar başka bir n sayısı ile çarpılırsa, determinant n ile çarpılır. Ayrıca, bir M matrisi v 1 {\displaystyle v_{1}} ve v 2 {\displaystyle v_{2}} sütun matrislerinin toplamı olan bir v sütununa sahipse M'nin determinantı, v yerine v 1 {\displaystyle v_{1}} ve v yerine v 2 {\displaystyle v_{2}} olan M'nin determinantlarının toplamıdır. Bu iki koşul çoklu doğrusallık olarak adlandırılır.

Ayrıca bakınız

• Doğrusal cebir
• Sayısal doğrusal cebir