Sayı

Numaralandırma yöntemleri

İnsanlar için sayılar

Sayılara sembol vermenin farklı yolları vardır. Bu yöntemlere sayı sistemleri denir. İnsanların kullandığı en yaygın sayı sistemi on tabanlı sayı sistemidir. On tabanlı sayı sistemine ondalık sayı sistemi de denir. On tabanlı sayı sistemi yaygındır çünkü insanların on el ve on ayak parmağı vardır. Onluk taban sayı sisteminde kullanılan 10 farklı sembol {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9} vardır. Bu on sembole basamak adı verilir.

Bir sayının sembolü bu on rakamdan oluşur. Rakamların konumu sayının ne kadar büyük olduğunu gösterir. Örneğin, ondalık sayı sisteminde 23 sayısı gerçekte (2 kere 10) artı 3 anlamına gelir ve 101 sayısı 1 kere yüz (=100) artı 0 kere 10 (=0) artı 1 kere 1 (=1) anlamına gelir.

Makineler için numaralar

Makineler için başka bir sayı sistemi daha yaygındır. Makine sayı sistemine ikili sayı sistemi denir. İkili sayı sistemi aynı zamanda iki tabanlı sayı sistemi olarak da adlandırılır. İki tabanlı sayı sisteminde kullanılan iki farklı sembol (0 ve 1) vardır. Bu iki sembole bit adı verilir.

İkili bir sayının sembolü bu iki bit sembolünden oluşur. Bit sembollerinin konumu sayının ne kadar büyük olduğunu gösterir. Örneğin, ikili sayı sisteminde 10 sayısı gerçekte 1 kere 2 artı 0 anlamına gelir ve 101 sayısı 1 kere dört (=4) artı 0 kere iki (=0) artı 1 kere 1 (=1) anlamına gelir. İkili sayı sistemindeki 10 sayısı ondalık sayı sistemindeki 2 sayısı ile aynıdır. İkili sayı 101, ondalık sayı 5 ile aynıdır.

Sayıların isimleri

İngilizcede, ondalık sayı sistemindeki bazı sayılar için "on'un kuvvetleri" olan özel isimler vardır. Onluk sayı sistemindeki tüm bu onluk sayıların kuvvetleri için sadece "1" ve "0" sembolleri kullanılır. Örneğin, on üzeri on, on üzeri on ya da yüz ile aynıdır. Sembollerde bu "10 × 10 = 100" şeklindedir. Ayrıca, on yüzlük, on kere yüz ya da bin ile aynıdır. Sembollerde bu "10 × 100 = 10 × 10 × 10 = 1000" şeklindedir. Diğer bazı onluk sayıların da özel isimleri vardır:

• 1 - bir
• 10 - 10
• 100 - yüz
• 1000 - bin
• 1.000.000 - bir milyon

Bundan daha büyük sayılarla uğraşırken, sayıları İngilizce olarak adlandırmanın iki farklı yolu vardır. "Uzun ölçek" altında, sayı son adlandırılan sayıdan her bir milyon kat daha büyük olduğunda yeni bir isim verilir. Buna "İngiliz Standardı" da denir. Bu ölçek eskiden İngiltere'de yaygındı ancak günümüzde İngilizce konuşulan ülkelerde pek kullanılmamaktadır. Diğer bazı Avrupa ülkelerinde hala kullanılmaktadır. Bir başka ölçek de "kısa ölçektir" ve bu ölçekte bir sayı son adlandırılan sayıdan bin kat daha büyük olduğunda yeni bir ad verilir. Bu ölçek günümüzde İngilizce konuşulan ülkelerin çoğunda çok daha yaygındır.

• 1.000.000.000 - bir milyar (kısa ölçek), bir miliard (uzun ölçek)
• 1.000.000.000.000 - bir trilyon (kısa ölçek), bir milyar (uzun ölçek)
• 1.000.000.000.000.000 - bir katrilyon (kısa ölçek), bir bilardo (uzun ölçek)

Sayı türleri

Doğal sayılar

Doğal sayılar normalde saymak için kullandığımız sayılardır, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 vb. Bazı insanlar 0'ın da doğal bir sayı olduğunu söyler.

Bu sayıların bir diğer adı da pozitif sayılardır. Bu sayılar bazen negatif sayılardan farklı olduklarını göstermek için +1 olarak yazılır. Ancak tüm pozitif sayılar doğal değildir (örneğin 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} pozitiftir, ancak doğal değildir).

Eğer 0 doğal sayı olarak adlandırılırsa, o zaman doğal sayılar tam sayılarla aynıdır. Eğer 0 doğal sayı olarak adlandırılmazsa, doğal sayılar sayma sayıları ile aynıdır. Dolayısıyla, "doğal sayılar" kelimeleri kullanılmazsa, sıfırın dahil olup olmadığı konusunda daha az karışıklık olacaktır. Ancak ne yazık ki, bazıları sıfırın da bir tam sayı olmadığını ve bazıları da tam sayıların negatif olabileceğini söylüyor. "Pozitif tam sayılar" ve "negatif olmayan tam sayılar", sıfırı dahil etmenin veya hariç tutmanın başka bir yoludur, ancak yalnızca insanlar bu kelimeleri biliyorsa.

Negatif sayılar

Negatif sayılar sıfırdan küçük sayılardır.

Negatif sayıları düşünmenin bir yolu da sayı doğrusu kullanmaktır. Bu çizgi üzerindeki bir noktaya sıfır diyoruz. Daha sonra çizgi üzerindeki her konumu sıfır noktasının ne kadar sağında olduğuna göre etiketleyeceğiz (adını yazacağız), örneğin bir noktası bir santimetre sağda, iki noktası iki santimetre sağda.

Şimdi sıfır noktasının bir santimetre solundaki bir noktayı düşünün. Bu noktaya bir diyemeyiz, çünkü zaten bir adında bir nokta vardır. Bu nedenle bu noktayı eksi 1 (-1) olarak adlandırıyoruz (bir santimetre uzakta, ancak ters yönde olduğu için).

Aşağıda bir sayı doğrusu çizimi yer almaktadır.

Matematiğin tüm normal işlemleri negatif sayılarla yapılabilir:

Eğer insanlar negatif bir sayıyı diğerine eklerse, bu aynı rakamlarla pozitif sayıyı çıkarmakla aynı şeydir. Örneğin, 5 + (-3), 5 - 3 ile aynıdır ve 2'ye eşittir.

Eğer negatif bir sayıyı diğerinden çıkarırlarsa bu, pozitif sayıyı aynı rakamlarla toplamakla aynı şeydir. Örneğin, 5 - (-3), 5 + 3 ile aynıdır ve 8'e eşittir.

Eğer iki negatif sayıyı çarparlarsa pozitif bir sayı elde ederler. Örneğin, -5 çarpı -3 15 eder.

Negatif bir sayıyı pozitif bir sayıyla çarparlarsa veya pozitif bir sayıyı negatif bir sayıyla çarparlarsa negatif bir sonuç elde ederler. Örneğin, 5 kere -3 -15 eder.

Negatif çarpı negatif eşittir olasılık olduğundan negatif bir sayının karekökünü bulmak imkansızdır. Negatif bir sayının karekökünü i olarak simgeliyoruz.

Tamsayılar

Tam sayılar, tüm doğal sayılar, bunların tüm zıtları ve sıfır sayısıdır. Ondalık sayılar ve kesirler tam sayı değildir.

Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar kesir olarak yazılabilen sayılardır. Bu, a ve b sayılarının tam sayı olduğu ve b'nin 0'a eşit olmadığı durumlarda a bölü b şeklinde yazılabilecekleri anlamına gelir.

1/10 gibi bazı rasyonel sayıları ondalık biçimde yazmak için ondalık noktasından sonra sonlu sayıda basamak gerekir. Onda bir sayısı ondalık biçimde 0,1 olarak yazılır. Sonlu bir ondalık biçimle yazılan sayılar rasyoneldir. 1/11 gibi bazı rasyonel sayıları ondalık biçimde yazmak için ondalık noktasından sonra sonsuz sayıda basamak gerekir. Ondalık noktasından sonraki basamaklarda tekrar eden bir model vardır. Onbirde bir sayısı ondalık biçimde 0,0909090909 ... şeklinde yazılır.

Yüzdeye rasyonel sayı denebilir, çünkü %7 gibi bir yüzde 7/100 kesri olarak yazılabilir. Ayrıca ondalık 0,07 olarak da yazılabilir. Bazen bir oran da rasyonel sayı olarak kabul edilir.

İrrasyonel sayılar

İrrasyonel sayılar, kesir olarak yazılamayan ancak hayali kısımları olmayan sayılardır (daha sonra açıklanacaktır).

İrrasyonel sayılar geometride sıklıkla görülür. Örneğin, kenarları 1 metre olan bir karemiz varsa, karşılıklı köşeler arasındaki mesafe ikinin kareköküdür, bu da 1.414213'e eşittir ... . Bu irrasyonel bir sayıdır. Matematikçiler her doğal sayının karekökünün ya bir tam sayı ya da bir irrasyonel sayı olduğunu kanıtlamışlardır.

İyi bilinen irrasyonel sayılardan biri pi sayısıdır. Bu, bir dairenin çevresinin (etrafındaki mesafe) çapına (karşısındaki mesafe) bölümüdür. Bu sayı her daire için aynıdır. Pi sayısı yaklaşık olarak 3.1415926535 ... .

İrrasyonel bir sayı ondalık formda tam olarak yazılamaz. Ondalık noktadan sonra sonsuz sayıda basamağa sahip olacaktır. 0,333333...'ün aksine, bu rakamlar sonsuza kadar tekrar etmeyecektir.

Gerçek sayılar

Gerçek sayılar, yukarıda listelenen tüm sayı kümeleri için kullanılan bir isimdir:

• Tam sayılar da dahil olmak üzere rasyonel sayılar
• İrrasyonel sayılar

Bu, hayali sayılar içermeyen tüm sayılardır.

Hayali sayılar

Hayali sayılar, gerçek sayıların i sayısı ile çarpımından oluşur. Bu sayı eksi birin (-1) kareköküdür.

Gerçek sayılar içinde karesi alındığında -1 sayısını veren hiçbir sayı yoktur. Bu nedenle matematikçiler bir sayı icat ettiler. Bu sayıya i ya da hayali birim adını verdiler.

Hayali sayılar gerçek sayılarla aynı kurallar altında çalışır:

• İki hayali sayının toplamı, i'nin çıkarılmasıyla (çarpanlarına ayrılmasıyla) bulunur. Örneğin, 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• İki hayali sayının farkı da benzer şekilde bulunur. Örneğin, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• İki hayali sayıyı çarparken, i × i (i² ) değerinin -1 olduğunu unutmayın. Örneğin, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Hayali sayılara hayali denmesinin nedeni, ilk bulunduklarında birçok matematikçinin bunların var olmadığını düşünmesidir.^[] Hayali sayıları keşfeden kişi 1500'lü yıllarda Gerolamo Cardano'dur. Hayali sayı kelimesini ilk kullanan kişi ise René Descartes'tır. Bu sayıları ilk kullanan kişiler ise Leonard Euler ve Carl Friedrich Gauss'tur. Her ikisi de 18. yüzyılda yaşamıştır.

Karmaşık sayılar

Karmaşık sayılar iki parçadan oluşan sayılardır; bir gerçek parça ve bir hayali parça. Yukarıda yazılan her sayı türü aynı zamanda bir karmaşık sayıdır.

Karmaşık sayılar, sayıların daha genel bir biçimidir. Karmaşık sayılar bir sayı düzlemi üzerinde çizilebilir. Bu, bir gerçek sayı doğrusu ve bir hayali sayı doğrusundan oluşur.

           3i|_ | | 2i|_ . 2+2i | | i|_ | |_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____| -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 | -i|_ .3-i | | .-2-2i -2i|_ | | -3i|_ |

Normal matematiğin tamamı karmaşık sayılarla yapılabilir:

• İki karmaşık sayıyı toplamak için, gerçek ve hayali kısımları ayrı ayrı toplayın. Örneğin, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Bir karmaşık sayıyı diğerinden çıkarmak için, gerçek ve hayali kısımları ayrı ayrı çıkarın. Örneğin, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

İki karmaşık sayıyı çarpmak karmaşıktır. Genel terimlerle, a + bi ve c + di iki karmaşık sayı ile açıklamak en kolay yoldur.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Örneğin, (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Transandantal sayılar

Bir reel veya karmaşık sayı, tamsayı katsayılı bir cebirsel denklemin sonucu olarak elde edilemiyorsa aşkın sayı olarak adlandırılır.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Belirli bir sayının transandantal olduğunu kanıtlamak son derece zor olabilir. Her aşkın sayı aynı zamanda irrasyonel bir sayıdır. Transandantal sayıların var olduğunu gören ilk kişiler Gottfried Wilhelm Leibniz ve Leonhard Euler'dir. Transandantal sayıların varlığını gerçekten kanıtlayan ilk kişi ise Joseph Liouville'dir. Bunu 1844 yılında yapmıştır.

İyi bilinen transandantal sayılar:

• e
• π
• e^a cebirsel a ≠ 0 için
• 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}

√2 irrasyoneldir.