Karmaşık sayı bir sayıdır, ancak yaygın sayılardan birçok yönden farklıdır. Karmaşık bir sayı, iki sayının bir araya getirilmesiyle oluşur. İlk kısım gerçek bir sayıdır. Karmaşık sayının ikinci kısmı ise hayali bir sayıdır. En önemli hayali sayı i {\displaystyle i}
olarak adlandırılır ve karesi alındığında -1 olacak bir sayı olarak tanımlanır ("kare", "kendisiyle çarpılan" anlamına gelir): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Diğer tüm hayali sayılar i {\displaystyle i} bir gerçek sayı ile çarpılır, aynı şekilde tüm gerçek sayılar da 1 ile başka bir sayının çarpımı olarak düşünülebilir. Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi aritmetik fonksiyonlar karmaşık sayılarla kullanılabilir. Bunlar da tıpkı gerçek sayılar gibi değişmeli, birleşmeli ve dağılımlı özellikleri takip eder.
Karmaşık sayılar, içinde üs bulunan özel denklemleri çözmeye çalışırken keşfedilmiştir. Bunlar matematikçiler için gerçek problemler oluşturmaya başladı. Bir karşılaştırma yapmak gerekirse, negatif sayılar kullanarak a + x = b {\displaystyle a+x=b} 
denklemindeki x'i a ve b'nin tüm gerçek değerleri için bulmak mümkündür, ancak x için yalnızca pozitif sayılara izin verilirse, 3 + x = 1 denkleminde olduğu gibi bazen pozitif bir x bulmak imkansızdır.
Üs alma işleminde aşılması gereken bir zorluk vardır. Karesi alındığında -1 veren gerçek bir sayı yoktur. Başka bir deyişle, -1'in (ya da başka herhangi bir negatif sayının) gerçek karekökü yoktur. Örneğin, ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
eşitliğini çözen x {\displaystyle x}
gerçek sayısı yoktur. Bu sorunu çözmek için matematikçiler i sembolünü ortaya atmış ve buna hayali sayı adını vermişlerdir. Bu, karesi alındığında -1'i verecek olan hayali sayıdır.
Bunu düşünen ilk matematikçiler muhtemelen Gerolamo Cardano ve Raffaele Bombelli'dir. Onlar 16. yüzyılda yaşadılar. i {\displaystyle \mathrm {i} yazımını ortaya atan muhtemelen Leonhard Euler olmuştur. } Bu numara için
.
Tüm karmaşık sayılar a + b i {\displaystyle a+bi}
(veya a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
) şeklinde yazılabilir; burada a sayının gerçel kısmı, b ise hayali kısmı olarak adlandırılır. Karmaşık bir z sayısının gerçel kısmı için ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)}
veya Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
yazıyoruz {\displaystyle z}
. Yani, eğer z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
ise, a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}
yazarız. Benzer şekilde, karmaşık bir z sayısının imajiner kısmı için ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
veya Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
yazıyoruz {\displaystyle z} ; aynı z için b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)}
. Her gerçek sayı aynı zamanda bir karmaşık sayıdır; ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
olan bir z karmaşık sayısıdır.
Karmaşık sayı, sıralı bir çift olarak da yazılabilir, (a, b). Hem a hem de b gerçek sayılardır. Herhangi bir reel sayı basitçe a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i}
veya (a, 0) çifti olarak yazılabilir.
Bazen i {\displaystyle i} yerine j {\displaystyle j}
yazılır. Elektrik mühendisliğinde i {\displaystyle i} elektrik akımı anlamına gelir. Elektrik mühendisliğinde bazı sayılar karmaşık sayılar olduğu için i {\displaystyle i} yazmak birçok soruna neden olabilir.
Tüm karmaşık sayılar kümesi genellikle C {\displaystyle \mathbb {C} şeklinde yazılır. } 
.
