Karmaşık sayı
Karmaşık sayı bir sayıdır, ancak yaygın sayılardan birçok yönden farklıdır. Karmaşık bir sayı, iki sayının bir araya getirilmesiyle oluşur. İlk kısım gerçek bir sayıdır. Karmaşık sayının ikinci kısmı ise hayali bir sayıdır. En önemli hayali sayı i {\displaystyle i}
olarak adlandırılır ve karesi alındığında -1 olacak bir sayı olarak tanımlanır ("kare", "kendisiyle çarpılan" anlamına gelir): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } 
. Diğer tüm hayali sayılar i {\displaystyle i} bir gerçek sayı ile çarpılır, aynı şekilde tüm gerçek sayılar da 1 ile başka bir sayının çarpımı olarak düşünülebilir. Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi aritmetik fonksiyonlar karmaşık sayılarla kullanılabilir. Bunlar da tıpkı gerçek sayılar gibi değişmeli, birleşmeli ve dağılımlı özellikleri takip eder.
Karmaşık sayılar, içinde üs bulunan özel denklemleri çözmeye çalışırken keşfedilmiştir. Bunlar matematikçiler için gerçek problemler oluşturmaya başladı. Bir karşılaştırma yapmak gerekirse, negatif sayılar kullanarak a + x = b {\displaystyle a+x=b} 
denklemindeki x'i a ve b'nin tüm gerçek değerleri için bulmak mümkündür, ancak x için yalnızca pozitif sayılara izin verilirse, 3 + x = 1 denkleminde olduğu gibi bazen pozitif bir x bulmak imkansızdır.
Üs alma işleminde aşılması gereken bir zorluk vardır. Karesi alındığında -1 veren gerçek bir sayı yoktur. Başka bir deyişle, -1'in (ya da başka herhangi bir negatif sayının) gerçek karekökü yoktur. Örneğin, ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
eşitliğini çözen x {\displaystyle x}
gerçek sayısı yoktur. Bu sorunu çözmek için matematikçiler i sembolünü ortaya atmış ve buna hayali sayı adını vermişlerdir. Bu, karesi alındığında -1'i verecek olan hayali sayıdır.
Bunu düşünen ilk matematikçiler muhtemelen Gerolamo Cardano ve Raffaele Bombelli'dir. Onlar 16. yüzyılda yaşadılar. i {\displaystyle \mathrm {i} yazımını ortaya atan muhtemelen Leonhard Euler olmuştur. } Bu numara için
.
Tüm karmaşık sayılar a + b i {\displaystyle a+bi}
(veya a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
) şeklinde yazılabilir; burada a sayının gerçel kısmı, b ise hayali kısmı olarak adlandırılır. Karmaşık bir z sayısının gerçel kısmı için ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)}
veya Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
yazıyoruz {\displaystyle z}
. Yani, eğer z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
ise, a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}
yazarız. Benzer şekilde, karmaşık bir z sayısının imajiner kısmı için ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
veya Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
yazıyoruz {\displaystyle z} ; aynı z için b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)}
. Her gerçek sayı aynı zamanda bir karmaşık sayıdır; ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
olan bir z karmaşık sayısıdır.
Karmaşık sayı, sıralı bir çift olarak da yazılabilir, (a, b). Hem a hem de b gerçek sayılardır. Herhangi bir reel sayı basitçe a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i}
veya (a, 0) çifti olarak yazılabilir.
Bazen i {\displaystyle i} yerine j {\displaystyle j}
yazılır. Elektrik mühendisliğinde i {\displaystyle i} elektrik akımı anlamına gelir. Elektrik mühendisliğinde bazı sayılar karmaşık sayılar olduğu için i {\displaystyle i} yazmak birçok soruna neden olabilir.
Tüm karmaşık sayılar kümesi genellikle C {\displaystyle \mathbb {C} şeklinde yazılır. } 
.
Karmaşık sayılar üzerinde işlemler
Toplama, çıkarma, çarpma, bölen sıfır olmadığı sürece bölme ve üs alma (sayıları üslere yükseltme) işlemlerinin tümü karmaşık sayılarla mümkündür. Diğer bazı hesaplamalar da karmaşık sayılarla mümkündür.
Karmaşık sayıların toplanması ve çıkarılması için kural oldukça basittir:
z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)}
, sonra z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
olsun, ve z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
Çarpma işlemi biraz farklıdır:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
Karmaşık sayılar için dikkate değer bir başka işlem de konjugasyondur. Karmaşık eşlenik z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}}
ile z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} a - b i {\displaystyle a-bi}
'dir. Bu oldukça basittir, ancak hesaplamalar için önemlidir, çünkü z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}}
tüm karmaşık z {\displaystyle z} için reel sayılara aittir:
z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}} 
.
Bunu bölme işlemi yapmak için kullanabiliriz:
1 z = z ¯ z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } 
Karmaşık sayıları tanımlamanın diğer biçimleri
Karmaşık sayılar, karmaşık düzlem olarak adlandırılan bir düzlem üzerinde gösterilebilir. Eğer bir z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} sayınız varsa, reel eksen üzerinde bir noktaya ve imajiner eksen üzerinde b'ye gidebilir ve ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)}
'dan ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 'ye bir 
vektör çizebilirsiniz. Bu vektörün uzunluğu Pisagor teoremi ve pozitif reel eksen ile bu vektör arasındaki açı kullanılarak saat yönünün tersine doğru hesaplanabilir. Bir z {\displaystyle z} sayısı için bir vektörün uzunluğuna modülü (| z | {\displaystyle |z|}
olarak yazılır) ve açıya da argümanı (arg z {\displaystyle \arg z}
) denir.
Bu, karmaşık sayıları tanımlamanın trigonometrik biçimine yol açar: sinüs ve kosinüs tanımlarına göre, tüm z için {\displaystyle z} şu anlama gelir
z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } 
Bu, De Moivre'nin formülüyle yakından bağlantılıdır.
Üstel form olarak adlandırılan başka bir form daha vardır.
Karmaşık bir sayı, karmaşık düzlemi temsil eden bir Argand diyagramı üzerinde bir vektör oluşturan iki sayı olarak görsel olarak gösterilebilir.
Sonuç
Karmaşık sayıların matematiğe eklenmesiyle, karmaşık katsayılı her polinomun karmaşık sayı olan kökleri vardır. Karmaşık sayıların matematiğe başarılı bir şekilde eklenmesi, birçok farklı problemi çözebilecek ve açıklamaya yardımcı olabilecek başka sayı türlerinin yaratılmasına da yol açmıştır, örneğin: hiperkarmaşık sayılar, sedenion, hiperreal sayılar, sürreal sayılar ve diğerleri. Sayı türlerine bakınız.
Sorular ve Yanıtlar
S: Karmaşık sayı nedir?
C: Karmaşık sayı, ilk kısmı gerçek sayı ve ikinci kısmı hayali sayı olmak üzere iki kısımdan oluşan bir sayıdır.
S: En önemli hayali sayı nedir?
C: En önemli hayali sayı i olarak adlandırılır ve karesi alındığında -1 olacak bir sayı olarak tanımlanır.
S: Aritmetik fonksiyonlar karmaşık sayılarla nasıl kullanılır?
C: Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi aritmetik fonksiyonlar karmaşık sayılarla kullanılabilir. Bunlar da tıpkı gerçek sayılar gibi değişmeli, birleşmeli ve dağılımlı özellikleri takip eder.
S: Karmaşık sayılar kümesini hangi sembol temsil eder?
C: Karmaşık sayılar kümesi genellikle C sembolü kullanılarak temsil edilir.
S: Karmaşık sayılar neden keşfedildi?
C: Karmaşık sayılar, içinde üs bulunan özel denklemleri çözmeye çalışırken keşfedildi, çünkü matematikçiler için gerçek problemler oluşturuyorlardı.
S: Bu tür sayılar için i yazımını kim ortaya attı?
C: Bu tür sayılar için i yazımını ortaya atan kişi muhtemelen Leonhard Euler'dir.
S: Karmaşık bir sayı sıralı bir çift olarak nasıl yazılabilir?
C: Karmaşık bir sayı, a ve b'nin her ikisinin de gerçek sayı olduğu sıralı bir çift (a, b) olarak yazılabilir.
