Sıfıra bölme

Matematikte bir sayı sıfıra bölünemez. Gözlemleyin:

1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} $A*B=C$

B = 0 ise, C = 0. Bu doğrudur. Ama:

2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} $A=C/B$

(burada B=0, yani sadece sıfıra böldük)

Ki bu da aynı şey:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Sorun şu ki A {\displaystyle A} $A$ herhangi bir sayı olabilir. A {\displaystyle A} $A$ 1 olsaydı ya da 1.000.000.000 olsaydı işe yarardı. Bu nedenle 0/0'ın "belirsiz formda" olduğu söylenir, çünkü tek bir değeri yoktur. Öte yandan, A {\displaystyle A} $A$ 'nın 0 olmadığı A/0 biçimindeki sayıların "tanımsız" ya da "belirsiz" olduğu söylenir. Bunun nedeni, onları tanımlamaya yönelik herhangi bir girişimin, kendisi de tanımsız olan sonsuzluk değeriyle sonuçlanacak olmasıdır. Genellikle iki sayı aynı şeye eşit olduğunda, birbirlerine eşittirler. Her ikisinin de eşit olduğu şey 0/0 olduğunda bu doğru değildir. Bu, sayı sıfıra bölündüğünde normal matematik kurallarının çalışmadığı anlamına gelir.

Sıfıra bölmeye dayalı hatalı kanıtlar

Sıfıra bölmenin özel bir durumunu cebirsel bir argümanla gizlemek mümkündür. Bu, aşağıdaki gibi 1=2 gibi geçersiz kanıtlara yol açabilir:

Aşağıdaki varsayımlarla:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Aşağıdakiler doğru olmalıdır:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Sıfıra bölündüğünde:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Basitleştirin:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Yanlışlık, 0'a bölmenin 0/0 = 1 ile meşru bir işlem olduğu varsayımıdır.

Çoğu insan muhtemelen yukarıdaki "kanıtın" yanlış olduğunu anlayacaktır, ancak aynı argüman hatanın fark edilmesini zorlaştıracak şekilde sunulabilir. Örneğin, 1 x olarak yazılırsa, 0 x-x'in arkasına ve 2 de x+x'in arkasına gizlenebilir. Yukarıda bahsedilen ispat aşağıdaki gibi gösterilebilir:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

Bu nedenle:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

x - x'e bölündüğünde elde edilir:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

ve x'e bölünmesi ile elde edilir:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Yukarıdaki "kanıt" yanlıştır, çünkü x-x'e bölündüğünde sıfıra bölünür, çünkü herhangi bir sayı eksi kendisi sıfırdır.

Kalkülüs

Kalkülüste, yukarıdaki "belirsiz formlar" limitleri değerlendirirken doğrudan yerine koymanın bir sonucu olarak da ortaya çıkar.

Bilgisayarlarda sıfıra bölme

Bir bilgisayar programı bir tamsayıyı sıfıra bölmeye çalışırsa, işletim sistemi genellikle bunu tespit eder ve programı durdurur. Genellikle bir "hata mesajı" yazdırır veya programcıya programı nasıl geliştirebileceği konusunda tavsiyelerde bulunur^[] . Sıfıra bölme işlemi bilgisayar programcılığında sık karşılaşılan bir hatadır. Kayan noktalı sayıların (ondalık sayılar) sıfıra bölünmesi, sıfıra bölünen değere bağlı olarak genellikle ya sonsuzluk ya da özel bir NaN (sayı değil) değeri ile sonuçlanır.

Geometride sıfıra bölme

Geometride 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Bu sonsuzluk (izdüşümsel sonsuzluk) ne pozitif ne de negatif bir sayıdır, aynı şekilde sıfır da pozitif ya da negatif bir sayı değildir

Sorular ve Yanıtlar

S: Bir sayıyı sıfıra bölmenin sonucu nedir?

C: Bir sayının sıfıra bölünmesi "tanımsız" veya "belirsiz form" ile sonuçlanır, yani tek bir değeri yoktur.

S: 0/0 ne anlama gelir?

C: 0/0'ın "belirsiz formda" olduğu söylenir çünkü tek bir değeri yoktur.

S: İki sayı aynı şeye eşit olduğunda, ancak bu şey 0/0 olduğunda ne olur?

C: Sayı sıfıra bölündüğünde matematiğin normal kuralları çalışmaz, bu nedenle iki sayı birbirine eşit olmaz.

S: A/0 şeklinde bir sayı tanımlama girişiminin sonsuzluk değeriyle sonuçlanacağı doğru mudur?

C: Evet, A/0 biçimindeki (A'nın 0 olmadığı) bir sayıyı tanımlamaya yönelik her girişim, kendisi de tanımsız olan sonsuzluk değeriyle sonuçlanacaktır.

S: İki sayının birbirine eşit olup olmadığını nasıl belirleyebiliriz?

C: İki sayının birbirine eşit olup olmadığını, her ikisinin de aynı şeye eşit olup olmadığına bakarak belirleyebiliriz. Bu genellikle işe yarar, ancak her iki sayı da 0/0'a eşit olduğunda bu geçerli değildir.

S: Bir sayıyı sıfıra bölemeyeceğimiz durumlar için bir istisna var mıdır? C: Evet, matematikte bir sayıyı sıfıra bölmek mümkün değildir.