Cebirde, denklemlerin daha iyi anlaşılması için kullanılabilecek birkaç kural vardır. Bunlara cebir kuralları denir. Bu kurallar anlamsız veya açık görünse de, bu özelliklerin matematiğin tüm dallarında geçerli olmadığını anlamak akıllıca olacaktır. Bu nedenle, bu aksiyomatik kuralları kabul etmeden önce nasıl beyan edildiklerini bilmek faydalı olacaktır. Kurallara geçmeden önce, verilecek iki tanım üzerinde düşünün.
- Karşıt - bir {\displaystyle a}
'nın karşıtı - bir {\displaystyle -a} 'dır.
- Karşılıklı - bir {\displaystyle a} 'nın karşılığı 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}} 'dır.
Kurallar
Toplama işleminin değişmeli özelliği
'Değişmeli', bir fonksiyonun sayılar yer değiştirdiğinde aynı sonuca sahip olduğu anlamına gelir. Başka bir deyişle, bir denklemdeki terimlerin sırası önemli değildir. İki terimin operatörü bir toplama işlemi olduğunda, 'toplamanın değişmeli özelliği' geçerlidir. Cebirsel terimlerle, bu a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a}
sonucunu verir.
Bunun çıkarma işlemi için geçerli olmadığını unutmayın! (yani a - b ≠ b - a {\displaystyle a-b\neq b-a}
)
Çarpma işleminin değişmeli özelliği
İki terimin operatörü bir çarpma olduğunda, 'çarpmanın değişmeli özelliği' geçerlidir. Cebirsel olarak, bu a ⋅ b = b ⋅ a {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}
sonucunu verir.
Bunun bölünme için geçerli olmadığını unutmayın! (yani a b ≠ b a {\displaystyle {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}} 
a ≠ b olduğunda {\displaystyle a\neq b}
)
Toplama işleminin birleşik özelliği
'İlişkisel' sayıların gruplandırılması anlamına gelir. Toplama işleminin ilişkisel özelliği, üç veya daha fazla terim toplanırken bu terimlerin nasıl gruplandığının önemli olmadığı anlamına gelir. Cebirsel olarak bu, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}
sonucunu verir. Bunun çıkarma işlemi için geçerli olmadığını unutmayın, örneğin 1 = 0 - ( 0 - 1 ) ≠ ( 0 - 0 ) - 1 = - 1 {\displaystyle 1=0-(0-1)\neq (0-0)-1=-1}
(dağılım özelliğine bakın).
Çarpmanın ilişkisel özelliği
Çarpmanın birleştirici özelliği, üç veya daha fazla terimi çarparken, bu terimlerin nasıl gruplandığının önemli olmadığını ima eder. Cebirsel olarak bu, a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c {\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}
sonucunu verir. Bunun bölme işlemi için geçerli olmadığına dikkat edin, örneğin 2 = 1 / ( 1 / 2 ) ≠ ( 1 / 1 ) / 2 = 1 / 2 {\displaystyle 2=1/(1/2)\neq (1/1)/2=1/2}
.
Dağıtım özelliği
Dağılım özelliği, bir sayının başka bir terimle çarpımının dağıtılabileceğini belirtir. Örneğin: a ⋅ ( b + c ) = a b + a c {\displaystyle a\cdot (b+c)=ab+ac}
. (Bunu ilişkisel özellikler ile karıştırmayın! Örneğin, a ⋅ ( b + c ) ≠ ( a ⋅ b ) + c {\displaystyle a\cdot (b+c)\neq (a\cdot b)+c}
.)
Eklemeli özdeşlik özelliği
'Özdeşlik' bir sayının kendisine eşit olması özelliğini ifade eder. Başka bir deyişle, iki sayının toplamının değişkenine eşit olması için bir işlem vardır. Toplamsal özdeşlik özelliği, herhangi bir sayı ile 0'ın toplamının o sayı olduğunu belirtir: a + 0 = a {\displaystyle a+0=a}
. Bu aynı zamanda çıkarma işlemi için de geçerlidir: a - 0 = a {\displaystyle a-0=a}
.
Çarpımsal özdeşlik özelliği
Çarpımsal özdeşlik özelliği, herhangi bir sayı ile 1'in çarpımının o sayı olduğunu belirtir: a ⋅ 1 = a {\displaystyle a\cdot 1=a}
. Bu aynı zamanda bölme işlemi için de geçerlidir: a 1 = a {\displaystyle {\frac {a}{1}}=a}
.
Eklemeli ters özellik
Toplamsal ters özelliği, toplamsal özdeşlik özelliğinin tersi gibidir. Bir işlem bir sayı ile tersinin toplamı olduğunda ve 0'a eşit olduğunda, bu işlem geçerli bir cebirsel işlemdir. Cebirsel olarak şu şekilde ifade edilir: a - a = 0 {\displaystyle a-a=0}
. 1'in toplamsal tersi (-1)'dir.
Çarpımsal ters alma özelliği
Çarpımsal ters alma özelliği, bir işlem bir sayı ile onun tersinin çarpımı olduğunda ve 1'e eşit olduğunda, bu işlemin geçerli bir cebirsel işlem olmasını gerektirir. Cebirsel olarak şu şekilde ifade edilir: a a = 1 {\displaystyle {\frac {a}{a}}=1}
. 2'nin çarpımsal tersi 1/2'dir.
