Cebirsel denklem
Matematikte, belirli bir alan üzerinde polinom denklemi olarak da adlandırılan bir cebirsel denklem, aşağıdaki formdaki bir denklemdir
P = Q {\displaystyle P=Q} 
Burada P ve Q bu cisim üzerinde polinomlardır ve bir (tek değişkenli) veya birden fazla (çok değişkenli) değişkene sahiptir. Örneğin:
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}} 
rasyonel sayılar üzerinde bir cebirsel denklemdir.
İki denklem aynı çözüm kümesine sahipse eşdeğer olarak adlandırılır. Bu, ikinci denklemin tüm çözümlerinin aynı zamanda ilk denklemin de çözümü olması gerektiği anlamına gelir ve bunun tersi de geçerlidir. P = Q {\displaystyle P=Q} denklemi P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
ile eşdeğerdir. Dolayısıyla cebirsel denklemlerin incelenmesi polinomların incelenmesine eşdeğerdir.
Eğer bir cebirsel denklem rasyonel sayılar üzerindeyse, her zaman tüm katsayıların tam sayı olduğu eşdeğer bir denkleme dönüştürülebilir. Örneğin, yukarıda verilen denklemde 42 = 2-3-7 ile çarpıyoruz ve ilk üyedeki terimleri gruplandırıyoruz. Denklem şu şekle dönüştürülür
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Bir denklemin çözümleri, denklemin doğru olduğu değişkenlerin değerleridir. Ancak cebirsel denklemler için kökler de vardır. Bir denklemi çözerken, çözümlere hangi kümede izin verildiğini söylememiz gerekir. Örneğin, rasyoneller üzerindeki bir denklem için tam sayılarda çözüm bulunabilir. O zaman denklem bir diophantine denklemidir. Karmaşık sayılar alanında da çözüm aranabilir. Reel sayılarda da çözüm aranabilir.
Eski matematikçiler x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
gibi tek değişkenli denklemlerin (yani tek değişkenli denklemlerin) çözümlerini x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}
pozitif çözümü için radikal ifadeler şeklinde istemişlerdir. Eski Mısırlılar 2. dereceden denklemleri (yani değişkenin en yüksek kuvvetinin 2 olduğu denklemleri) bu şekilde nasıl çözeceklerini biliyorlardı. Rönesans döneminde Gerolamo Cardano 3. derece denklemini, Lodovico Ferrari ise 4. derece denklemini çözmüştür. Son olarak Niels Henrik Abel 1824 yılında 5. derece denkleminin ve daha yüksek dereceli denklemlerin her zaman radikaller kullanılarak çözülemeyeceğini kanıtlamıştır. Adını Évariste Galois'dan alan Galois teorisi, bir denklemin radikaller kullanılarak çözülebilir olup olmadığına karar veren kriterler vermek için tanıtıldı.
Sorular ve Yanıtlar
S: Cebirsel denklem nedir?
C: Cebirsel denklem, P = Q biçiminde bir denklemdir; burada P ve Q, bir veya daha fazla değişkenli belirli bir alan üzerinde polinomlardır.
S: İki denklem nasıl eşdeğer olabilir?
C: İki denklem aynı çözüm kümesine sahipse eşdeğer kabul edilir, yani birinin tüm çözümleri diğerinin de çözümü olmalıdır ve bunun tersi de geçerlidir.
S: Bir denklemi çözmek ne anlama gelir?
C: Bir denklemi çözmek, denklemi doğru yapan değişkenlerin değerlerini bulmak anlamına gelir. Bu değerlere kök denir.
S: Rasyonel sayılar üzerindeki cebirsel denklemler her zaman tam sayı katsayılı denklemlere dönüştürülebilir mi?
C: Evet, her iki tarafı 42 = 2-3-7 gibi bir sayı ile çarparak ve ilk üyedeki terimleri gruplayarak, rasyonel sayılar üzerindeki herhangi bir cebirsel denklem tamsayı katsayılı bir denkleme dönüştürülebilir.
S: Eski matematikçiler tek değişkenli denklemler için radikal ifadeleri ne zaman istemişlerdir?
C: Antik matematikçiler Rönesans döneminde tek değişkenli denklemler (tek değişkenli denklemler) için radikal ifadeler (x=1+√5/2 gibi) istemişlerdir.
S: Bu dönemde 3. ve 4. derece denklemleri kim çözdü?
C: Gerolamo Cardano 3. derece denklemleri ve Lodovico Ferrari 4. derece denklemleri bu dönemde çözmüştür.
S: Yüksek dereceli denklemlerin her zaman radikaller kullanılarak çözülemeyeceğini kim kanıtladı?
C: Niels Henrik Abel 1824 yılında yüksek dereceli denklemlerin her zaman radikaller kullanılarak çözülemeyeceğini kanıtlamıştır.
