Pisagor teoremi

Pisagor teoreminin bir kanıtı Yunan matematikçi Knidoslu Eudoxus tarafından bulunmuştur.

Kanıt üç lemma kullanmaktadır:

1. Aynı tabana ve yüksekliğe sahip üçgenler aynı alana sahiptir.
2. Bir karenin bir kenarı ile aynı tabana ve yüksekliğe sahip olan bir üçgen, karenin yarısı ile aynı alana sahiptir.
3. İki eş kenarı ve bir eş açısı olan üçgenler eştir ve aynı alana sahiptir.

Kanıt:

1. Mavi üçgen yeşil üçgenle aynı alana sahiptir, çünkü aynı tabana ve yüksekliğe sahiptir (lemma 1).
2. Yeşil ve kırmızı üçgenlerin her ikisinin de aynı karelerin kenarlarına eşit iki kenarı ve bir düz açı (90 derecelik bir açı) artı bir üçgen açısına eşit bir açısı vardır, bu nedenle eştirler ve aynı alana sahiptirler (lemma 3).
3. Kırmızı ve sarı üçgenlerin alanları eşittir çünkü yükseklikleri ve tabanları aynıdır (lemma 1).
4. Mavi üçgenin alanı sarı üçgenin alanına eşittir, çünkü

A b l u e = A g r e e n = A r e d = A y e l l o w {\displaystyle {\color {blue}A_{blue}}={\color {green}A_{green}}={\color {red}A_{red}}={\color {yellow}A_{yellow}}

1. Kahverengi üçgenler de aynı nedenlerden dolayı aynı alana sahiptir.
2. Mavi ve kahverenginin her biri daha küçük bir karenin alanının yarısına sahiptir. Alanlarının toplamı büyük karenin alanının yarısına eşittir. Bu nedenle, küçük karelerin alanlarının yarısı büyük karenin alanının yarısı ile aynıdır, bu nedenle alanları büyük karenin alanı ile aynıdır.

Benzer üçgenler kullanarak kanıtlama

Benzer üçgenleri kullanarak Pisagor teoreminin başka bir kanıtını elde edebiliriz.

d a = a c ⇒ d = a 2 c ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)}

e/b = b/c => e = b^2/c (2)

Görüntüden, c = d + e {\displaystyle c=d+e\,\! } . Ve denklem (1) ve (2)'yi değiştirerek:

c = a 2 c + b 2 c {\displaystyle c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}}

C ile çarpma:

c 2 = a 2 + b 2 . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\! }

Pisagor üçlüleri veya üçüzleri a 2 + b 2 = c 2 denklemine uyan üç tam sayıdır {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} .

Kenarları 3, 4 ve 5 olan üçgen iyi bilinen bir örnektir. Eğer a=3 ve b=4 ise, 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}} çünkü 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25} . Bu aynı zamanda 3 2 + 4 2 = 5 olarak da gösterilebilir. {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}=5.}

Üç-dört-beş üçgeni 3, 4 ve 5'in tüm katları için çalışır. Başka bir deyişle, 6, 8, 10 veya 30, 40 ve 50 gibi sayılar da Pisagor üçlüleridir. Bir başka üçlü örneği de 12-5-13 üçgenidir, çünkü 12 2 + 5 2 = 13 {\displaystyle {\sqrt {12^{2}+5^{2}}=13} .

Diğer üçlülerin katı olmayan bir Pisagor üçlüsüne ilkel Pisagor üçlüsü denir. Herhangi bir ilkel Pisagor üçlüsü ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\displaystyle (2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})} ifadesi kullanılarak bulunabilir. ancak aşağıdaki koşulların karşılanması gerekmektedir. Bunlar m {\displaystyle m} ve n {\displaystyle n} değerlerine kısıtlamalar getirir.

1. m {\displaystyle m} ve n {\displaystyle n} pozitif tam sayılardır
2. m {\displaystyle m} ve n {\displaystyle n} 1 dışında ortak çarpana sahip değildir
3. m {\displaystyle m} ve n {\displaystyle n} zıt pariteye sahiptir. m {\displaystyle m} ve n {\displaystyle n} , m {\displaystyle m} çift ve n {\displaystyle n} tek olduğunda veya m {\displaystyle m} tek ve n {\displaystyle n} çift olduğunda zıt pariteye sahiptir.
4. m > n {\displaystyle m>n} .

Dört koşulun tümü yerine getirilirse, m {\displaystyle m} ve n {\displaystyle n} değerleri ilkel bir Pisagor üçlüsü oluşturur.

m = 2 {\displaystyle m=2} ve n = 1 {\displaystyle n=1} ilkel bir Pisagor üçlüsü oluşturur. Değerler dört koşulu da sağlamaktadır. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\displaystyle 2mn=2\times 2\times 1=4} , m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\displaystyle m^{2}-n^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} ve m 2 + n 2 = 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} böylece ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} üçlüsü oluşturulur.