Hayali sayılar,
Hayali sayılar, bir gerçek sayı ile i adı verilen hayali birimin birleştirilmesiyle elde edilen sayılardır; burada i, i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
şeklinde tanımlanır. Pozitif bir reel sayı yerine negatif bir reel sayının karekökü olmaları nedeniyle negatif reel sayılardan ayrı olarak tanımlanırlar. Negatif bir sayı elde etmek için kendisiyle çarpılacak bir reel sayı olmadığından (örneğin 3*3 = 9 ve -3*-3 = 9), reel sayılarda bu mümkün değildir.
Onlar hakkında düşünmenin bir yolu, negatif sayılar pozitif sayılar için neyse, hayali sayıların da negatif sayılar için o olduğunu söylemektir. Eğer "-1 mil doğuya git" dersem, bu "1 mil batıya git" demiş olmamla aynı şeydir. Eğer "i mil doğuya git" dersem, bu "1 mil kuzeye git" demiş olmamla aynı anlama gelir. Eğer "-i mil doğuya git" dersem, "1 mil güneye git" demiş gibi olurum.
Eklemek de kolaydır. Eğer "1 + i mil doğuya git" dersem, bu "bir mil doğuya ve bir mil kuzeye git" dememle aynı anlama gelir.
İki hayali sayıyı çarpmak, pozitif bir sayıyı negatif bir sayıyla çarpmaya çok benzer. Eğer "2*-3 mil doğuya git" dersem, bu "tüm yolu dön (böylece şimdi batıya bakacaksın) ve 2*3 = 6 mil git" anlamına gelir. Hayali sayılar da aynı şekilde çalışır, ancak kısmen dönebilirsiniz. Eğer "2*3i mil doğuya git" dersem, bu "kuzeye bakana kadar dön ve sonra 2*3 = 6 mil git" dememle aynı anlama gelir.
Negatif sayılar icat edilene kadar 5 - 9 çıkarma işlemi imkansızdı. İcat edildikten sonra, hayali sayılar icat edilene kadar negatif bir sayının karekökünü almak imkansızdı. 9'un karekökü 3'tür, ancak -9'un karekökü -3 değildir. Bunun nedeni -3 x -3 = +9'dur, -9 değil. Uzun bir süre boyunca -9'un karekökünün cevabı yokmuş gibi görünüyordu.
Bu nedenle matematikçiler hayali sayı olan i'yi icat etmiş ve bunun -1'in karekökü olduğunu söylemişlerdir. -1'in karekökü gerçek bir sayı değildir, dolayısıyla bu tanım yeni bir sayı türü yaratır, tıpkı kesirlerin 4 veya 10 gibi sayma sayıları olmayan 2/3 gibi sayılar yaratması ve negatif sayıların 0'dan küçük sayılara sahip olmamıza izin vermesi gibi. Bazen matematikçiler bu kadar alışılmadık bir sayıyı kullanmakta oldukça rahat görünürler, ancak hayali adı sizi kandırmamalıdır çünkü i, 3 veya 145.379 kadar geçerli bir sayıdır.
Birçok bilim ve mühendislik dalı bu sayı için kullanım alanları bulmuştur. Bazen elektrik mühendisleri bir elektrik devresini tasarlarken nasıl çalışacağını anlamak için i'ye ihtiyaç duyarlar (elektrik mühendisleri akım sembolü ile karışıklığı önlemek için i yerine j kullanırlar). Kuantum fiziği ve yüksek enerji fiziği gibi bazı fizik dalları i'yi diğer normal sayıları kullandıkları kadar sık kullanırlar. Dünyadaki pek çok denklem i olmadan çözülemez.
Hayali sayılar daha aşina olduğumuz sayılarla karıştırılabilir. Örneğin, 2 gibi gerçek bir sayı 3i gibi hayali bir sayıya eklenerek 2+3i oluşturulabilir. Bu tür karışık sayılar karmaşık sayılar olarak bilinir.
Sorular ve Yanıtlar
S: Hayali sayı nedir?
C: Hayali sayı, bir gerçek sayı ile i olarak adlandırılan hayali birimin birleşimidir; burada i, i^2=-1 olarak tanımlanır.
S: Hayali sayılar negatif reel sayılardan nasıl farklıdır?
C: Hayali sayılar negatif reel sayılardan ayrı olarak tanımlanırlar, çünkü negatif bir reel sayının kareköküdürler (pozitif bir reel sayı yerine). Negatif bir sayı elde etmek için kendisiyle çarpılacak hiçbir gerçek sayı olmadığından, bu gerçek sayılarla mümkün değildir.
S: "-i mil doğuya git" dediğimizde bu ne anlama gelir?
C: "-i mil doğuya git" dediğimizde, "1 mil güneye git" demişiz gibi aynı anlama gelir.
S: İki hayali sayıyı nasıl toplarsınız?
C: İki hayali sayıyı toplamak için "bir mil doğuya ve bir mil kuzeye git" diyebilirsiniz. İki hayali sayıyı çarpmak, pozitif bir sayıyı negatif bir sayı ile çarpmaya benzer.
S: Karmaşık sayılar nedir?
C: Karmaşık sayılar, 2+3i gibi hem gerçek hem de hayali bileşenlerden oluşan karışık sayılardır. Bir gerçek ve bir hayali bileşeni bir araya getirdiğinizde oluşurlar.
S: Matematikçiler hayali birim kavramını hangi alanlarda kullanırlar?
C: Matematikçiler hayali birim kavramını elektrik mühendisliği, kuantum fiziği, yüksek enerji fiziği gibi birçok bilim ve mühendislik dalında kullanırlar. Ayrıca onsuz çözülemeyen denklemlerde de kullanılır.
