Hayali birimler

Yazar: Leandro Alegsa Oluşturulma tarihi: 18 Mayıs 2022

Matematikte hayali birimler veya i, denklemlerle temsil edilebilen ancak gerçek hayatta fiziksel olarak var olamayacak değerlere atıfta bulunan sayılardır. Hayali bir birimin matematiksel tanımı i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}} şeklindedir.} $i={\sqrt {-1}}$ Bu da i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ özelliğine sahiptir.

Oluşturulma sebebim bir polinom denklemine cevap vermekti, x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ normalde x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ değerinin -1'e eşit olması gerekeceğinden çözümü yoktur. Problem çözülebilir olsa da, -1'in karekökü gerçek hayatta herhangi bir nesnenin fiziksel bir miktarı ile temsil edilemez.

i'nin karekökü

Bazen i'nin karekökünü göstermek için başka bir sayı oluşturmak gerektiği varsayılır, ancak buna gerek yoktur. i'nin karekökü şu şekilde yazılabilir: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ .
Bu şu şekilde gösterilebilir:

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$