Hayali birimler

Matematikte hayali birimler veya i, denklemlerle temsil edilebilen ancak gerçek hayatta fiziksel olarak var olamayacak değerlere atıfta bulunan sayılardır. Hayali bir birimin matematiksel tanımı i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}} şeklindedir.} $i={\sqrt {-1}}$ Bu da i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ özelliğine sahiptir.

Oluşturulma sebebim bir polinom denklemine cevap vermekti, x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ normalde x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ değerinin -1'e eşit olması gerekeceğinden çözümü yoktur. Problem çözülebilir olsa da, -1'in karekökü gerçek hayatta herhangi bir nesnenin fiziksel bir miktarı ile temsil edilemez.

i'nin karekökü

Bazen i'nin karekökünü göstermek için başka bir sayı oluşturmak gerektiği varsayılır, ancak buna gerek yoktur. i'nin karekökü şu şekilde yazılabilir: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ .
Bu şu şekilde gösterilebilir:

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

i'nin Güçleri

Ben'in güçleri tahmin edilebilir bir model izler:

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

Bu, n'nin herhangi bir tam sayı olduğu aşağıdaki modelle gösterilebilir:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1} $i^{4n}=1$

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i} $i^{4n+1}=i$

i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1} $i^{4n+2}=-1$

i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i} $i^{4n+3}=-i$

İlgili sayfalar

Sorular ve Yanıtlar

S: Hayali birim nedir?

C: Hayali birim, sadece gerçek sayıların dışında var olan ve cebirde kullanılan bir sayı değeridir.

S: Hayali birimi nasıl kullanırız?

C: Hayali bir sayı oluşturmak için hayali birimi gerçek bir sayı ile çarparız.

S: Hayali sayılar ne için kullanılır?

C: Hayali sayılar birçok matematik problemini çözmek için kullanılabilir.

S: Hayali bir sayıyı gerçek hayattaki nesnelerle temsil edebilir miyiz?

C: Hayır, hayali bir sayıyı gerçek hayattaki nesnelerle temsil edemeyiz.

S: Hayali birim nereden gelir?

C: Hayali birim matematik ve cebirden gelir.

S: Hayali birim gerçek sayıların bir parçası mıdır?

C: Hayır, gerçek sayılar aleminin dışında var olur.

S: Hayali bir sayıyı nasıl hesaplarsınız? C: Hayali bir sayıyı, gerçek bir sayıyı hayali birimle çarparak hesaplarsınız.