Üs alma

Üs alma (güç) sayılar üzerinde yapılan aritmetik bir işlemdir. Tıpkı çarpmanın tekrarlanan toplama işlemi olması gibi, tekrarlanan çarpma işlemidir. İnsanlar üs alma işlemini üst indis ile yazarlar. Bu şuna benzer: x y {\displaystyle x^{y}} . Geçmişte başka matematiksel gösterim yöntemleri de kullanılmıştır. Üst indeksi kullanamayan ekipmanlarla yazarken, insanlar ^ veya ** işaretlerini kullanarak güçleri yazarlar, bu nedenle 2^3 veya 2**3, 2 3 {\displaystyle 2^{3}} anlamına gelir. .

x {\displaystyle x} sayısına taban ve y {\displaystyle y} sayısına üs denir. Örneğin, 2 3 {\displaystyle 2^{3}} 2 taban ve 3 üs olmak üzere ikiye ayrılır.

2 3 {\displaystyle 2^{3}} hesaplamak için bir kişinin 2 sayısını kendisiyle 3 kez çarpması gerekir. Yani 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} . Sonuç 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} . Denklem yüksek sesle şu şekilde okunabilir: 2'nin 3 kuvvetine yükseltilmesi 8'e eşittir.

Örnekler:

• 5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}
• x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}
• 1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} her x sayısı için

Eğer üs 2'ye eşitse, o zaman güç kare olarak adlandırılır çünkü bir karenin alanı 2 {\displaystyle a^{2}} kullanılarak hesaplanır. . Bu yüzden

x 2 {\displaystyle x^{2}} x'in karesidir {\displaystyle x}

Eğer üs 3'e eşitse, güç küp olarak adlandırılır çünkü bir küpün hacmi 3 {\displaystyle a^{3}} kullanılarak hesaplanır. . Bu yüzden

x 3 {\displaystyle x^{3}} x'in küpüdür {\displaystyle x}

Eğer üs -1'e eşitse, o zaman kişi tabanın tersini hesaplamalıdır. Yani

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}

Üs bir tamsayı ise ve 0'dan küçükse, kişi sayıyı ters çevirmeli ve gücü hesaplamalıdır. Örneğin:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}

Eğer üs 1'e eşitse 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} o zaman üs alma işleminin sonucu tabanın kareköküdür. Yani x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}. } Örnek:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2}

Benzer şekilde, üs 1 n ise {\displaystyle {\frac {1}{n}} sonuç n'inci köktür, yani:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}

Eğer üs bir rasyonel sayı p q ise {\displaystyle {\frac {p}{q}}} o zaman sonuç p'nin kuvvetine yükseltilmiş tabanın q. köküdür, yani:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}

Üs rasyonel bile olmayabilir. a tabanını irrasyonel bir x'inci kuvvete yükseltmek için, limiti x olan sonsuz bir rasyonel sayı dizisi (x_i ) kullanırız:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

Bunun gibi:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}

Güçlerin hesaplanmasına yardımcı olan bazı kurallar vardır:

• ( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}
• ( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}},\quad b\neq 0}
• a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}
• a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}
• a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}},\quad a\neq 0}
• ( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}
• a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1}

Matrislerin üstelleştirilmesini hesaplamak mümkündür. Matris kare olmalıdır. Örneğin: I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} .