Üs alma

Üs alma (güç) sayılar üzerinde yapılan aritmetik bir işlemdir. Tıpkı çarpmanın tekrarlanan toplama işlemi olması gibi, tekrarlanan çarpma işlemidir. İnsanlar üs alma işlemini üst indis ile yazarlar. Bu şuna benzer: x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ . Geçmişte başka matematiksel gösterim yöntemleri de kullanılmıştır. Üst indeksi kullanamayan ekipmanlarla yazarken, insanlar ^ veya ** işaretlerini kullanarak güçleri yazarlar, bu nedenle 2^3 veya 2**3, 2 3 {\displaystyle 2^{3}} anlamına gelir. $2^{3}$ .

x {\displaystyle x} sayısına taban ve y {\displaystyle y} sayısına üs denir. Örneğin, 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ 2 taban ve 3 üs olmak üzere ikiye ayrılır.

2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ hesaplamak için bir kişinin 2 sayısını kendisiyle 3 kez çarpması gerekir. Yani 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . Sonuç 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . Denklem yüksek sesle şu şekilde okunabilir: 2'nin 3 kuvvetine yükseltilmesi 8'e eşittir.

Örnekler:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ her x sayısı için

Eğer üs 2'ye eşitse, o zaman güç kare olarak adlandırılır çünkü bir karenin alanı 2 {\displaystyle a^{2}} kullanılarak hesaplanır. $a^{2}$ . Bu yüzden

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ x'in karesidir {\displaystyle x}

Eğer üs 3'e eşitse, güç küp olarak adlandırılır çünkü bir küpün hacmi 3 {\displaystyle a^{3}} kullanılarak hesaplanır. $a^{3}$ . Bu yüzden

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ x'in küpüdür {\displaystyle x}

Eğer üs -1'e eşitse, o zaman kişi tabanın tersini hesaplamalıdır. Yani

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Üs bir tamsayı ise ve 0'dan küçükse, kişi sayıyı ters çevirmeli ve gücü hesaplamalıdır. Örneğin:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Eğer üs 1'e eşitse 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ o zaman üs alma işleminin sonucu tabanın kareköküdür. Yani x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Örnek:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Benzer şekilde, üs 1 n ise {\displaystyle {\frac {1}{n}} ${\frac {1}{n}}$ sonuç n'inci köktür, yani:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Eğer üs bir rasyonel sayı p q ise {\displaystyle {\frac {p}{q}}} ${\frac {p}{q}}$ o zaman sonuç p'nin kuvvetine yükseltilmiş tabanın q. köküdür, yani:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Üs rasyonel bile olmayabilir. a tabanını irrasyonel bir x'inci kuvvete yükseltmek için, limiti x olan sonsuz bir rasyonel sayı dizisi (x_i ) kullanırız:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

Bunun gibi:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Güçlerin hesaplanmasına yardımcı olan bazı kurallar vardır:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Matrislerin üstelleştirilmesini hesaplamak mümkündür. Matris kare olmalıdır. Örneğin: I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Değişkenlik

Toplama ve çarpma işlemlerinin her ikisi de değişkendir. Örneğin, 2+3, 3+2 ile aynıdır; ve 2 - 3, 3 - 2 ile aynıdır. Üs alma işlemi tekrarlanan çarpma işlemi olmasına rağmen değişmeli değildir. Örneğin, 2³=8 ama 3²=9'dur.

Ters İşlemler

Toplama işleminin bir ters işlemi vardır: çıkarma. Ayrıca, çarpmanın da bir ters işlemi vardır: bölme.

Ancak üs alma işleminin iki ters işlemi vardır: Kök ve logaritma. Üs alma işlemi değişmeli olmadığı için durum böyledir. Bunu bu örnekte görebilirsiniz:

Eğer x+2=3 ise, x=3-2 olduğunu bulmak için çıkarma işlemini kullanabilirsiniz. Eğer 2+x=3 ise de durum aynıdır: x=3-2 elde edersiniz. Bunun nedeni x+2'nin 2+x ile aynı olmasıdır.
Eğer x - 2=3 ise, bölme işlemini kullanarak x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ olduğunu bulabilirsiniz. Eğer 2 - x=3 ise de durum aynıdır: x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ elde edersiniz. Bunun nedeni x - 2'nin 2 - x ile aynı olmasıdır.
Eğer x²=3 ise, x'i bulmak için (kare) kökünü kullanırsınız: x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ sonucunu elde edersiniz. Ancak, 2^x =3 ise, x'i bulmak için kök kullanamazsınız. Bunun yerine, x'i bulmak için (ikili) logaritma kullanmanız gerekir: x=log₂ (3) sonucunu elde edersiniz.

İlgili sayfalar

Sorular ve Yanıtlar

S: Üs alma işlemi nedir?

C: Üs alma, sayılar üzerinde tekrarlanan çarpma işlemi olarak düşünülebilecek bir aritmetik işlemdir.

S: Üs alma işlemi nasıl yazılır?

C: Üs alma genellikle x^y şeklinde yazılır; burada x taban ve y üsteldir. Ayrıca 2^4 veya 2**4 gibi ^ veya ** işaretleri kullanılarak da yazılabilir.

S: Bazı üs alma örnekleri nelerdir?

C: Üs alma örnekleri arasında 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; her x sayısı için 1^x = 1; ve 4^(1/2) = sqrt(4) = 2 bulunur.

S: Üssün -1'e eşit olması ne anlama gelir?

C: Üs -1'e eşit olduğunda, güç basitçe tabanın tersidir (x^(-1) = 1/x).

S: Bir tabanın irrasyonel kuvvetini nasıl hesaplarsınız?

C: Bir a tabanını irrasyonel bir x'inci kuvvete yükseltmek için, limiti x olan sonsuz bir rasyonel sayı dizisi (xn) kullanırız (a^x = lim n->sonsuzluk a^(x_n)).

S: Üslü sayıları hesaplamayı kolaylaştıran herhangi bir kural var mı?

C: Evet, üslerin hesaplanmasını kolaylaştıran birkaç kural vardır. Bunlar arasında (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); vb. yer alır.