Logaritma

Logaritma ilk olarak MÖ 2. yüzyılda Hindistan'da kullanılmıştır. Modern zamanlarda logaritmayı ilk kullanan kişi Alman matematikçi Michael Stifel'dir (yaklaşık 1487-1567). 1544 yılında şu denklemleri yazmıştır: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}} ve q m q n = q m - n {\displaystyle {\tfrac {q^{m}}{q^{n}}=q^{m-n}} Bu, logaritmaları anlamanın temelidir. Stifel için m {\displaystyle m} ve n {\displaystyle n} tam sayı olmak zorundaydı. John Napier (1550-1617) bu kısıtlamayı istemedi ve üsler için bir aralık istedi.

Napier'e göre logaritmalar oranları ifade eder: a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} ile, c {\displaystyle c} d {\displaystyle d} ile logaritmalarının farkı aynı ise aynı orana sahiptir. Matematiksel olarak: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)} . İlk başta e tabanı kullanıldı (sayı henüz adlandırılmamış olsa da). Henry Briggs logaritma için 10 tabanını kullanmayı önerdi, bu tür logaritmalar astronomide çok kullanışlıdır.

Bir logaritma, belirli bir sayıyı yapmak için hangi üsse (veya güce) ihtiyaç duyulduğunu söyler, bu nedenle logaritmalar üs almanın tersidir (zıttıdır).

Üstel bir fonksiyonun üç bölümü olduğu gibi, logaritmanın da üç bölümü vardır. Bir logaritmanın üç parçası bir taban, bir argüman ve bir cevaptır (güç olarak da adlandırılır).

Bu üstel bir fonksiyondur:

2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8\ }

Bu fonksiyonda taban 2, argüman 3 ve cevap 8'dir.

Bu üstel fonksiyonun bir tersi, yani logaritması vardır:

log 2 ( 8 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(8)=3\ }

Bu logaritmada taban 2, argüman 8 ve cevap 3'tür.

Toplamanın bir ters işlemi vardır: çıkarma. Çarpma işleminin de bir ters işlemi vardır: bölme. Bu nedenle, üs alma işleminin neden aslında iki ters işlemi olduğunu anlamak zor olabilir: Zaten kök varsa neden logaritmaya ihtiyacımız var? Bu durum, üs alma işleminin değişmeli olmamasından kaynaklanmaktadır.

Aşağıdaki örnek bunu göstermektedir:

• Eğer x+2=3 ise, x=3-2 olduğunu bulmak için çıkarma işlemini kullanabilirsiniz. Eğer 2+x=3 ise de durum aynıdır: x=3-2 elde edersiniz. Bunun nedeni x+2'nin 2+x ile aynı olmasıdır.
• Eğer x - 2=3 ise, bölme işlemini kullanarak x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} olduğunu bulabilirsiniz. Eğer 2 - x=3 ise de durum aynıdır: x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} elde edersiniz. Bunun nedeni x - 2'nin 2 - x ile aynı olmasıdır.
• Eğer x²=3 ise, x'i bulmak için (kare) kökünü kullanırsınız: x = 3 {\textstyle {\sqrt {3}}} sonucunu elde edersiniz. Ancak, 2^x =3 ise, x'i bulmak için kök kullanamazsınız. Bunun yerine, x'i bulmak için (ikili) logaritma kullanmanız gerekir: x=log₂ (3) sonucunu elde edersiniz.
  Çünkü 2^x genellikle x² ile aynı değildir (örneğin, 2⁵ =32 ama 5²=25).

Logaritmalar büyük sayılarda çarpma ve bölme işlemlerini kolaylaştırabilir çünkü logaritma eklemek çarpmakla, logaritma çıkarmak da bölmekle aynı şeydir.

Hesap makineleri popüler ve yaygın hale gelmeden önce insanlar çarpma ve bölme işlemleri için kitaplardaki logaritma tablolarını kullanıyordu. Bir logaritma tablosundaki bilgilerin aynısı, üzerinde logaritma yazılı bir alet olan sürgülü cetvelde de mevcuttu.

• Logaritmik spiraller doğada yaygındır. Örnekler arasında bir nautilusun kabuğu veya bir ayçiçeğindeki tohumların dizilişi sayılabilir.
• Kimyada, hidronyum iyonlarının (H₃ O⁺ , H⁺ 'nin suda aldığı form) aktivitesinin 10 taban logaritmasının negatifi pH olarak bilinen ölçüdür. Nötr sudaki hidronyum iyonlarının aktivitesi 25 °C'de 10⁻⁷ mol/L, dolayısıyla pH 7'dir (Bu, su çözeltilerindeki hidronyum iyonları ve hidroksil iyonlarının konsantrasyonunun çarpımı olan denge sabitinin 10⁻¹⁴ M² olmasının bir sonucudur).
• Richter ölçeği depremin şiddetini 10 tabanlı logaritmik bir ölçekte ölçer.
• Astronomide görünen büyüklük yıldızların parlaklığını logaritmik olarak ölçer, çünkü göz de parlaklığa logaritmik olarak tepki verir.
• Müzikal aralıklar logaritmik olarak yarım ton olarak ölçülür. Yarım ton cinsinden iki nota arasındaki aralık, frekans oranının taban-2^1/12 logaritmasıdır (veya eşdeğer olarak, taban-2 logaritmasının 12 katıdır). Kesirli yarım tonlar eşit olmayan mizaçlar için kullanılır. Özellikle eşit temperli gamdan sapmaları ölçmek için, aralıklar sent cinsinden de ifade edilir (eşit temperli bir yarım tonun yüzde biri). Sent cinsinden iki nota arasındaki aralık, frekans oranının taban-2^1/1200 logaritmasıdır (veya taban-2 logaritmasının 1200 katıdır). MIDI'de notalar yarım ton ölçeğinde numaralandırılır (orta Do 60'ta olacak şekilde logaritmik mutlak nominal perde). Diğer akort sistemlerine mikro akort yapmak için, eşit temperli skalanın yarım tonları arasındaki aralıkları uyumlu bir şekilde dolduran logaritmik bir skala tanımlanır. Bu ölçek tam yarım tonlar için nota numaralarına karşılık gelir. (bkz. MIDI'de mikrotuning).

Logaritmalar 10 tabanına göre ortak logaritma olarak adlandırılır. Genellikle taban olmadan yazılırlar. Örneğin:

log ( 100 ) = 2 {\displaystyle \log(100)=2\ }

Bu şu anlama geliyor:

10 2 = 100 {\displaystyle 10^{2}=100\ }

E tabanına göre logaritmalar doğal logaritma olarak adlandırılır. E sayısı yaklaşık 2,71828'dir ve matematikçi Leonhard Euler'e atfen Eulerian sabiti olarak da adlandırılır.

Doğal logaritmalar log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)\,} veya ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)\,} sembollerini alabilir.

Bazı yazarlar log ( x ) {\displaystyle \log(x)} şeklinde doğal logaritma kullanımını tercih etmekte ancak bunu genellikle önsöz sayfalarında belirtmektedir.

Logaritmaların birçok özelliği vardır. Örneğin:

Logaritma tanımından elde edilen özellikler

Bu özellik doğrudan logaritma tanımından gelmektedir:

log n ( n a ) = a {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a} Örneğin

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3} ve

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}=-1} çünkü 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}=2^{-1}} .

Bir a sayısının b
 tabanına göre logaritması, a'nın logaritmasının b'nin logaritmasına bölünmesiyle aynıdır,

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\log(b)}}}

Örneğin, a 6 ve b 2 olsun. Hesap makineleri ile bunun doğru ya da en azından çok yakın olduğunu gösterebiliriz:

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}}

log 2 ( 6 ) ≈ 2,584962 {\displaystyle \log _{2}(6)\approx 2,584962}

2.584962 ≈ 0.778151 0.301029 ≈ 2.584970 {\displaystyle 2.584962\approx {\frac {0.778151}{0.301029}}\approx 2.584970}

Sonuçlarımızda küçük bir hata vardı, ancak bu sayıların yuvarlanmasından kaynaklanıyordu.

Doğal logaritmayı gözümüzde canlandırmak zor olduğundan, bunu on tabanlı logaritma cinsinden buluruz:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0.434294 {\displaystyle \ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}\approx {\frac {\log(x)}{0.434294}} Burada 0,434294, e'nin logaritması için bir yaklaşımdır.

Logaritma argümanları içinde işlemler

Argümanlarının içinde çarpım yapan logaritmalar aşağıdaki gibi değiştirilebilir:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)}

Örneğin,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3}

Aynı şey bölme işlemi için de geçerlidir, ancak çarpma işleminin tersi olduğu için toplama yerine çıkarma işlemi kullanılır:

log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) {\displaystyle \log {\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)}

Logaritma tabloları, slayt kuralları ve tarihsel uygulamalar

Elektronik bilgisayarlardan önce logaritma bilim insanları tarafından her gün kullanılırdı. Logaritma, astronomi gibi birçok alanda bilim insanlarına ve mühendislere yardımcı oldu.

Bilgisayarlardan önce logaritma tablosu önemli bir araçtı. Henry Briggs 1617 yılında ilk logaritma tablosunu basmıştır. Bu, Napier'in temel buluşundan kısa bir süre sonraydı. Daha sonra insanlar daha iyi kapsam ve hassasiyete sahip tablolar yaptılar. Bu tablolar, belirli bir aralıktaki herhangi bir x sayısı için, belirli bir hassasiyette, belirli bir b tabanı için (genellikle b = 10) log_b (x) ve b^x değerlerini listeledi. Örneğin, Briggs'in ilk tablosu 1-1000 aralığındaki tüm tam sayıların ortak logaritmalarını 8 basamaklı bir hassasiyetle içeriyordu. f(x) = b^x fonksiyonu, log_b (x)'in ters fonksiyonu olduğundan, antilogaritma olarak adlandırılmıştır. İnsanlar bu tabloları sayıları çarpmak ve bölmek için kullanmıştır. Örneğin, bir kullanıcı iki pozitif sayının her biri için tablodaki logaritmaya baktı. Tablodaki sayılar toplandığında çarpımın logaritması elde edilirdi. Tablonun antilogaritma özelliği daha sonra logaritmasına göre çarpımı bulurdu.

Hassasiyet gerektiren manuel hesaplamalar için, iki logaritmanın aranması, toplamlarının veya farklarının hesaplanması ve antilogaritmanın aranması, daha önceki yollarla çarpma işleminin gerçekleştirilmesinden çok daha hızlıdır.

Birçok logaritma tablosu, logaritmaları x'in karakteristiğini ve mantissa'sını, yani log₁₀ (x)'in tamsayı kısmını ve kesirli kısmını ayrı ayrı vererek verir. 10 - x'in karakteristiği bir artı x'in karakteristiğidir ve anlamları aynıdır. Bu, logaritma tablolarının kapsamını genişletir: 1 ile 1000 arasında değişen tüm x tamsayıları için log₁₀ (x)'i listeleyen bir tablo verildiğinde, 3542'nin logaritmasına şu şekilde yaklaşılır

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354.2 ) = 1 + log 10 ( 354.2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\yaklaşık 1+\log _{10}(354).\,}

Bir başka kritik uygulama da, burada gösterildiği gibi, hesaplama için kullanılan logaritmik olarak bölünmüş bir çift ölçek olan sürgülü cetveldi:

Sayılar, logaritmaları arasındaki farklarla orantılı mesafelerde kayan ölçekler üzerinde işaretlenir. Üst ölçeği uygun şekilde kaydırmak, logaritmaları mekanik olarak toplamak anlamına gelir. Örneğin, alt ölçekteki 1'den 2'ye olan mesafeyi üst ölçekteki 1'den 3'e olan mesafeye eklemek, alt kısımda okunan 6'lık bir çarpım verir. Birçok mühendis ve bilim insanı 1970'lere kadar sürgülü cetvel kullanmıştır. Bilim insanları logaritma tablosu kullanmaktansa sürgülü cetvel kullanarak daha hızlı çalışabilirler.