Fermat sayısı

Yazar: Leandro Alegsa

18-05-2022

Bir Fermat sayısı özel bir pozitif sayıdır. Fermat sayıları adını Pierre de Fermat'dan alır. Onları üreten formül şöyledir

F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}+1} $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

burada n negatif olmayan bir tam sayıdır. İlk dokuz Fermat sayısı (OEIS'de A000215 dizisi):

F₀ = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2² + 1 = 5

F₂ = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2⁸ + 1 = 257

F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65537

F₅ = 2³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F₆ = 2⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F₇ = 2¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F₈ = 2²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

2007 yılı itibariyle, sadece ilk 12 Fermat sayısı tamamen çarpanlarına ayrılmıştır. (asal sayıların çarpımı olarak yazılmıştır) Bu çarpanlara ayırma işlemlerini Fermat Sayılarının Asal Çarpanları'nda bulabilirsiniz.

Eğer 2ⁿ + 1 asal ve n > 0 ise, n'nin ikinin kuvveti olması gerektiği gösterilebilir. 2ⁿ + 1 biçimindeki her asal bir Fermat sayısıdır ve bu tür asallara Fermat asalları denir. Bilinen tek Fermat asalları F₀ ,...,F 'dir. ₄

Fermat sayıları hakkında ilginç şeyler

İki Fermat sayısının ortak bölenleri yoktur.
Fermat sayıları özyinelemeli olarak hesaplanabilir: N'inci sayıyı elde etmek için, ondan önceki tüm Fermat sayılarını çarpın ve sonuca iki ekleyin.

Ne için kullanılırlar

Günümüzde Fermat sayıları, 0 ile 2'nin kuvveti olan N değeri arasında rastgele sayılar üretmek için kullanılabilmektedir.

Fermat'ın varsayımı

Fermat, bu sayılar üzerinde çalışırken, tüm Fermat sayılarının asal olduğunu varsaydı. Bunun yanlış olduğu, 1732 yılında F 5 {\displaystyle F_{5}} $F_{5}$ çarpanlarına ayıran Leonhard Euler tarafından kanıtlanmıştır.

Sorular ve Yanıtlar

S: Fermat sayısı nedir?

C: Fermat sayısı, adını Pierre de Fermat'dan alan özel bir pozitif sayıdır. F_n = 2^2^(n) + 1 formülü ile üretilir, burada n negatif olmayan bir tamsayıdır.

S: Kaç tane Fermat sayısı vardır?

C: 2007 yılı itibariyle, sadece ilk 12 Fermat sayısı tamamen çarpanlarına ayrılmıştır.

S: İlk dokuz Fermat sayısı nedir?

A: İlk dokuz Fermat sayısı F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), ve F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).

S: 2n + 1 biçimindeki asal sayılar hakkında ne söylenebilir?

C: Eğer 2n + 1 asal ise ve n > 0 ise, n'nin ikinin kuvveti olması gerektiği gösterilebilir. 2n + 1 biçimindeki her asal aynı zamanda bir Fermat sayısıdır ve bu tür asallara Fermat asalları denir. Bilinen tek Fermat asalları 0 ile 4 arasındadır.

S: Bilinen 12 çarpanlarına ayrılmış Fermat sayısının çarpanlarına ayırma işlemlerini nerede bulabilirim?

C: Bilinen 12 çarpanlarına ayrılmış Fermat sayısının çarpanlarına ayırma işlemlerini Fermat Sayılarının Asal Çarpanları adresinde bulabilirsiniz.

S: Pierre de Fermaat kimdir?

C: Pierre de Fermaat 17. yüzyılda yaşamış ve çalışmalarıyla modern matematiğin temellerini atmış etkili bir Fransız matematikçidir. Olasılık teorisi ve analitik geometriye yaptığı katkıların yanı sıra 1995 yılında Andrew Wiles tarafından cebirsel geometri yöntemleri kullanılarak kanıtlanana kadar çözülemeyen ünlü Son Teoremi ile tanınır.