Gama fonksiyonu

Özellikler

Özel değerler

Gama fonksiyonunun bazı özel değerleri şunlardır:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\yaklaşık -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\yaklaşık 1.772453850905\\Gamma (1)&=0!&=1\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\yaklaşık 0.88622692545\\Gamma (2)&=1!&=1\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\yaklaşık 1.32934038818\\Gamma (3)&=2!&=2\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\yaklaşık 3.32335097045\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}

Pi fonksiyonu

Gauss Pi fonksiyonunu tanıttı. Bu, gama fonksiyonunu ifade etmenin başka bir yoludur. Gama fonksiyonu açısından Pi fonksiyonu şöyledir

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},}

böylece

Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,}

negatif olmayan her n tamsayısı için.

Uygulamalar

Analitik sayı teorisi

Gama fonksiyonu Riemann zeta fonksiyonunu82857 incelemek için kullanılır. Riemann zeta fonksiyonunun bir özelliği de fonksiyonel denklemidir:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. }

Bernhard Riemann bu iki fonksiyon arasında bir ilişki buldu. Bu, 1859 tarihli "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Verilen Bir Miktardan Az Olan Asal Sayıların Sayısı Üzerine") adlı makalesindeydi.

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}. }