Büyük sayılar kanunu

Yazar: Leandro Alegsa

18-06-2022

Büyük sayılar yasası (LLN) istatistikten bir teoremdir. Rastgele sonuçların ortaya çıktığı bir süreç düşünün. Örneğin, rastgele bir değişken tekrar tekrar gözlemlenir. O zaman gözlemlenen değerlerin ortalaması uzun vadede istikrarlı olacaktır. Bu, uzun vadede gözlenen değerlerin ortalamasının beklenen değere giderek yaklaşacağı anlamına gelir.

Zar atarken 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sayıları olası sonuçlardır. Hepsinin olasılığı eşittir. Sonuçların popülasyon ortalaması (veya "beklenen değeri") şöyledir:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.

Aşağıdaki grafik bir zar atma deneyinin sonuçlarını göstermektedir. Bu deneyde, zar atışlarının ortalamasının ilk başta çılgınca değiştiği görülebilir. LLN'nin öngördüğü gibi, gözlem sayısı arttıkça ortalama beklenen değer olan 3,5 civarında sabitlenir.

A demonstration of the Law of Large Numbers using die rolls

Tarih

Jacob Bernoulli ilk olarak LLN'yi tanımlamıştır. O kadar basit olduğunu söylüyor ki, en aptal insan bile içgüdüsel olarak bunun doğru olduğunu biliyor. Buna rağmen, iyi bir matematiksel kanıt geliştirmesi 20 yıldan fazla sürmüştür. İspatı bulduktan sonra, 1713 yılında Ars Conjectandi (Varsayım Yapma Sanatı) adlı kitabında yayınladı. Buna "Altın Teorem" adını verdi. Genel olarak "Bernoulli Teoremi" olarak bilinir hale geldi (Fizikteki aynı isimli kanunla karıştırılmamalıdır.) 1835'te S.D. Poisson bunu "La loi des grands nombres" (Büyük sayılar kanunu) adı altında daha ayrıntılı olarak tanımladı. Daha sonra her iki isimle de anılmıştır, ancak en sık "Büyük Sayılar Yasası" kullanılmıştır.

Diğer matematikçiler de yasanın daha iyi hale getirilmesine katkıda bulunmuştur. Bunlardan bazıları Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli ve Kolmogorov'dur. Bu çalışmalardan sonra artık yasanın iki farklı şekli vardır: Biri "zayıf" yasa, diğeri ise "güçlü" yasa olarak adlandırılmaktadır. Bu formlar farklı yasaları tanımlamaz. Gözlenen veya ölçülen olasılığın gerçek olasılığa yakınsamasını tanımlamak için farklı yollara sahiptirler. Yasanın güçlü biçimi zayıf olanı ima eder.

Sorular ve Yanıtlar

S: Büyük sayılar kanunu nedir?

C: Büyük sayılar kanunu, rastgele bir süreç tekrar tekrar gözlemlenirse, gözlemlenen değerlerin ortalamasının uzun vadede istikrarlı olacağını belirten bir istatistik teoremidir.

S: Büyük sayılar yasası ne anlama gelir?

C: Büyük sayılar kanunu, gözlem sayısı arttıkça, gözlemlenen değerlerin ortalamasının beklenen değere daha da yaklaşacağı anlamına gelir.

S: Beklenen değer nedir?

C: Beklenen değer, rastgele bir sürecin sonuçlarının popülasyon ortalamasıdır.

S: Bir zar atmanın beklenen değeri nedir?

C: Bir zar atmanın beklenen değeri, olası sonuçların toplamının sonuç sayısına bölümüdür: (1+2+3+4+5+6)/6=3.5.

S: Metindeki grafik büyük sayılar yasası ile ilgili olarak neyi göstermektedir?

C: Grafik, zar atışlarının ortalamasının ilk başta çılgınca değiştiğini, ancak LLN tarafından tahmin edildiği gibi, gözlem sayısı arttıkça ortalamanın beklenen değer olan 3,5 civarında sabitlendiğini göstermektedir.

S: Büyük sayılar kanunu zar atmaya nasıl uygulanır?

C: Büyük sayılar kanunu zar atma için geçerlidir çünkü zar atma sayısı arttıkça, zarların ortalaması beklenen değer olan 3,5'e gittikçe yaklaşacaktır.

S: Büyük sayılar kanunu istatistikte neden önemlidir?

C: Büyük sayılar kanunu istatistikte önemlidir çünkü verilerin çok sayıda gözlemin ortalamasını alma eğiliminde olduğu fikrine teorik bir temel sağlar. Güven aralıkları ve hipotez testleri gibi birçok istatistiksel yöntemin temelini oluşturur.