Mantıksal niceleyici

Mantıkta bir niceleyici, belirli sayıda öğenin bazı kriterleri karşıladığını belirtmenin bir yoludur. Örneğin, her doğal sayı kendisinden daha büyük bir başka doğal sayıya sahiptir. Bu örnekte, "her" kelimesi bir niceleyicidir. Dolayısıyla, "her doğal sayı kendisinden daha büyük başka bir doğal sayıya sahiptir" cümlesi nicelikli bir ifadedir. Niceleyiciler ve nicelenmiş ifadeler resmi dillerin yararlı bir parçasıdır. Kullanışlıdırlar çünkü kesin ifadelerin bir ölçütün ne kadar yaygın olduğunu iddia etmesine izin verirler. Yüklem mantığında kullanılan iki temel niceleyici türü evrensel ve varoluşsal niceleyicilerdir. Evrensel bir niceleyici, dikkate alınan tüm unsurların kriteri karşıladığını belirtir. Evrensel niceleyici "∀" ile sembolize edilir, "tüm" anlamına gelmek üzere baş aşağı bir "A". Varlık niceleyicisi ("∃" ile sembolize edilir), dikkate alınan en az bir öğenin kriterlere uyduğunu belirtir. Varlıksal niceleyici "∃" ile sembolize edilir, ters bir "E", "var" anlamına gelir.

Niceleyiciler doğal dillerde de kullanılır. İngilizce'deki niceleyicilere örnek olarak for all, for some, many, few, a lot ve no verilebilir.

Matematik

Bu ifade sonsuz uzunluktadır:

1 - 2 = 1 + 1, ve 2 - 2 = 2 + 2, ve 3 - 2 = 3 + 3, ..., ve 100 - 2 = 100 + 100, ve ..., vb.

Biçimsel bir ifadenin sonlu uzunlukta olması gerektiğinden, bu durum biçimsel diller için bir sorundur. Evrensel niceleme kullanılarak bu sorunlardan kaçınılabilir. Bu da aşağıdaki kompakt ifade ile sonuçlanır:

Her n doğal sayısı için n - 2 = n + n'dir.

Aynı şekilde, veya ile birleştirilen sonsuz bir ifade dizisini de kısaltabiliriz:

1, 5 + 5'e eşittir veya 2, 5 + 5'e eşittir veya 3, 5 + 5'e eşittir, ... veya 100, 5 + 5'e eşittir veya ..., vb.

Bu da varoluşsal niceleme kullanılarak yeniden yazılabilir:

En az bir n doğal sayısı için n, 5+5'e eşittir.

Notasyon

En yaygın olarak kullanılan iki niceleyici evrensel niceleyici ve varlık niceleyicisidir.

Evrensel niceleyici, bir kümedeki elemanların tümünün bazı kriterlere uyduğunu iddia etmek için kullanılır. Genellikle, bu "tüm elemanlar için" ifadesi ters çevrilmiş bir "A" ile kısaltılır, yani "∀".

Varoluşsal niceleyici, bir kümedeki elemanlar için bazı kriterlere uyan en az bir eleman olduğunu iddia etmek için kullanılır. Genellikle, bu "bir eleman vardır" ifadesi ters çevrilmiş bir "E", yani "∃" olarak kısaltılır.

Örnek bir İngilizce ifadeyi semboller, kriterleri temsil eden yüklemler ve niceleyicilerle yeniden yazabiliriz. Örnek "Peter'ın arkadaşlarından her biri ya dans etmeyi seviyor ya da plaja gitmeyi seviyor". X, Peter'ın tüm arkadaşlarının kümesi olsun. P(x) "x dans etmeyi sever" yüklemi olsun. Q(x) "x plaja gitmeyi sever" yüklemi olsun. Örneği formal notasyon kullanarak ∀ x ∈ X , P ( x ) ∨ Q ( x ) {\displaystyle \forall {x}{\in }X,P(x)\lor Q(x)} $\forall {x}{\in }X,P(x)\lor Q(x)$ şeklinde yeniden yazabiliriz. Bu ifade "X'in bir üyesi olan her x için, P x'e uygulanır veya Q x'e uygulanır" şeklinde okunabilir.

Resmi dilde niceleyicileri kullanmanın başka yolları da vardır. Aşağıdaki ifadelerin her biri ∃ x ∈ X , P ( x ) {\displaystyle \exists {x}{\in }X,P(x)} $\exists {x}{\in }X,P(x)$ ile aynı şeyi söyler:

∃ x P {\displaystyle \exists {x}P} $\exists {x}P$
( ∃ x ) P {\displaystyle (\exists {x})P} $(\exists {x})P$
( ∃ x . P ) {\displaystyle (\exists x\ .\ P)} $(\exists x\ .\ P)$
∃ x ⋅ P {\displaystyle \exists x\ \cdot \ P} $\exists x\ \cdot \ P$
( ∃ x : P ) {\displaystyle (\exists x:P)} $(\exists x:P)$
∃ x ∈ X P {\displaystyle \exists {x}{\in }X\,P} $\exists {x}{\in }X\,P$
∃ x : X P {\displaystyle \exists \,x{:}X\,P} $\exists \,x{:}X\,P$

Evrensel niceleyiciyi temsil etmenin birkaç yolu daha vardır:

( x ) P {\displaystyle (x)\,P} $(x)\,P$
⋀ x P {\displaystyle \bigwedge _{x}P} $\bigwedge _{x}P$

Yukarıdaki birkaç ifade, niceleyicinin uygulandığı öğeler kümesi olan X'i açıkça içermektedir. Bu öğeler kümesi, niceleme aralığı veya söylem evreni olarak da bilinir. Yukarıdaki ifadelerden bazıları böyle bir küme içermez. Bu durumda, kümenin ifadeden önce belirtilmesi gerekecektir. Örneğin, "x bir elmadır" ifadesinden önce ∃ x P ( x ) {\displaystyle \exists {x}P(x)} $\exists {x}P(x)$ belirtilmelidir. Bu durumda, en az bir elmanın P yüklemine uyduğunu ifade etmiş oluruz.

Bu makale boyunca x sembolü kullanılmıştır, ancak y gibi herhangi bir sembol de kullanılabilir. Sembolleri seçerken iki farklı şeye aynı sembolle atıfta bulunmadığınızdan emin olun.

Yuvalama

Niceleyicileri doğru sıraya koymak önemlidir. Bu, anlamın sıralamayla nasıl değiştiğini gösteren örnek bir İngilizce cümledir:

Her n doğal sayısı için, s = n² olacak şekilde bir s doğal sayısı vardır.

Bu ifade doğrudur. Her doğal sayının bir karesi olduğunu belirtir. Ancak, eğer niceleyicilerin sırasını tersine çevirirsek:

Öyle bir s doğal sayısı vardır ki, her n doğal sayısı için s = n² .

Bu ifade yanlıştır. Her doğal sayının karesi olan bir s doğal sayısı olduğunu iddia eder.

Bazı durumlarda nicelik belirteçlerinin sırasını değiştirmek ifadenin anlamını değiştirmez. Örneğin:

Bir x doğal sayısı vardır ve x = y² olacak şekilde bir y doğal sayısı vardır.

Diğer niceleyiciler

Matematikçiler tarafından kullanılan daha az yaygın niceleyiciler de vardır.

Çözüm niceleyicisi buna bir örnektir. Hangi öğelerin belirli bir denklemi çözdüğünü belirtmek için kullanılır. Çözüm niceleyicisi bir § (bölüm işareti) ile temsil edilir. Örneğin, aşağıdaki ifade 0, 1 ve 2'nin karelerinin 4'ten küçük olduğunu iddia eder. : [ § n ∈ N n 2 ≤ 4 ] = { 0 , 1 , 2 } {\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\left\{0,1,2\right\}} $\left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\left\{0,1,2\right\}$

Diğer niceleyiciler şunlardır:

Böyle birçok unsur var...
Öyle birkaç unsur var ki...
Sonsuz sayıda element vardır, öyle ki...
Sonlu sayıda eleman hariç tüm elemanlar için... (bazen "neredeyse tüm elemanlar için..." şeklinde ifade edilir).
Sayılamayacak kadar çok element vardır ki...
Sayılabilecek kadar çok eleman için...

Tarih

Mantık terimi Aristoteles tarafından geliştirilmiştir. Mantığın erken bir biçimiydi ve niceleme içeriyordu. Niceleme kullanımı doğal dil kullanımına daha yakındı. Bu, terim mantığındaki niceleyicili ifadelerin biçimsel analiz için daha az uygun olduğu anlamına geliyordu. Terim mantığı MÖ 4. yüzyılda Hepsi, Bazıları ve Hayır (hiçbiri) için niceleyiciler içeriyordu.

1879'da Gottlob Frege evrensel niceleme için bir gösterim oluşturdu. Günümüzden farklı olarak, evrensel nicelemeyi düz bir çizgideki bir çukurun üzerine bir değişken yazarak temsil ederdi. Frege varoluşsal niceleme için bir gösterim oluşturmamıştır. Bunun yerine, eşdeğer bir ifade oluşturmak için evrensel niceleme ve bir dizi olumsuzlamayı birleştirdi. Frege'nin niceleme kullanımı Bertrand Russell'ın 1903 tarihli Principles of Mathematics adlı kitabına kadar yaygın olarak bilinmiyordu.

1885 yılında Charles Sanders Peirce ve öğrencisi Oscar Howard Mitchell evrensel ve varoluşsal niceleyiciler için de bir gösterim oluşturdular. Şimdi ∀x ve ∃x yazdığımız yerde Π_x ve Σ_x yazdılar. Pierce'ın notasyonu 1950'lere kadar birçok matematikçi tarafından kullanıldı.

1897'de William Ernest Johnson ve Giuseppe Peano evrensel ve varoluşsal niceleme için başka bir gösterim oluşturdular. Pierce'in önceki niceleme notasyonundan etkilenmişlerdi. Johnson ve Peano evrensel niceleme için basit (x) ve varoluşsal niceleme için ∃x kullandılar. Peano'nun matematik üzerindeki etkisi bu notasyonu Avrupa'ya yaydı.

1935 yılında Gerhard Gentzen evrensel niceleme için ∀ sembolünü yarattı. Bu sembol 1960'lara kadar yaygın olarak kullanılmamıştır.

İlgili sayfalar

Mantık

Sorular ve Yanıtlar

S: Niceleyici nedir?

C: Niceleyici, belirli sayıda öğenin bazı ölçütleri karşıladığını belirtmenin bir yoludur.

S: Nicelikli ifadeye örnek nedir?

C: "Her doğal sayı kendisinden daha büyük bir başka doğal sayıya sahiptir" nicelikli ifadeye örnektir.

S: Niceleyiciler ve nicelenmiş ifadeler neden yararlıdır?

C: Niceleyiciler ve nicelenmiş ifadeler kullanışlıdır çünkü kesin ifadelerin bir ölçütün ne kadar yaygın olduğunu iddia etmesine izin verirler.

S: Yüklem mantığında kullanılan iki temel niceleyici türü nedir?

C: Yüklem mantığında kullanılan iki temel niceleyici türü evrensel ve varoluşsal niceleyicilerdir.

S: Evrensel bir niceleyici ne ifade eder?

C: Evrensel bir niceleyici, dikkate alınan tüm öğelerin ölçütü karşıladığını belirtir.

S: Evrensel niceleyicinin sembolü nedir?

C: Evrensel niceleyicinin sembolü "∀"dır, "tüm" anlamına gelmek üzere ters çevrilmiş bir "A".

S: Bir varlık niceleyicisi ne ifade eder?

C: Bir varlık niceleyicisi, dikkate alınan en az bir öğenin ölçütlere uyduğunu belirtir.

S: Varoluşsal niceleyicinin sembolü nedir?

C: Varlıksal niceleyicinin sembolü "∃", "var" anlamına gelmek üzere ters "E" harfidir.