Newton'un yöntemi

Yazar: Leandro Alegsa

18-05-2022

Newton yöntemi, bir fonksiyonun gerçek sıfırlarını bulmak için bir yol sağlar. Bu algoritma bazen adını Sir Isaac Newton ve Joseph Raphson'dan alan Newton-Raphson yöntemi olarak da adlandırılır.

Yöntem, köklerini bulmak için fonksiyonun türevini kullanır. Sıfırın yeri için bir başlangıç "tahmin değeri" yapılmalıdır. Bu değerden, bu formülle yeni bir tahmin hesaplanır:

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}} $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

Burada x_n ilk tahmin ve x_n+1 bir sonraki tahmindir. (Sıfırı çözülmekte olan) f fonksiyonu f' türevine sahiptir.

Bu formülün üretilen tahminlere tekrar tekrar uygulanmasıyla (yani x değerinin_n formülün çıktısına ayarlanması ve yeniden hesaplanmasıyla), tahminlerin değeri fonksiyonun sıfırına yaklaşacaktır.

Newton'un yöntemi, teğet doğruların x ekseni ile kesişimlerine bakılarak grafiksel olarak açıklanabilir. İlk olarak, f'ye x'te teğet olan bir doğru_n hesaplanır. Daha sonra, bu teğet doğru ile x ekseni arasındaki kesişim bulunur. Son olarak, bu kesişimin x konumu bir sonraki tahmin olarak kaydedilir, x_n+1 .

Fonksiyon (mavi), xn adresindeki teğet doğrunun (kırmızı) eğimini hesaplamak için kullanılmaktadır.

Newton Yöntemi ile İlgili Problemler

Newton yöntemi, tahmin değeri istenen köke yeterince yakın başlarsa hızlı bir şekilde çözüm bulabilir. Ancak, ilk tahmin değeri yakın olmadığında ve fonksiyona bağlı olarak, Newton yöntemi cevabı yavaş bulabilir veya hiç bulamayabilir.

Daha Fazla Okuma

Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). Newton yöntemi: Kantorovich'in teorisine güncellenmiş bir yaklaşım. Birkhäuser.
Peter Deuflhard, Doğrusal Olmayan Problemler için Newton Yöntemleri. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, İkinci basım. Hesaplamalı Matematik Serisi 35, Springer (2006)
Yamamoto, T. (2001). "Newton ve Newton Benzeri Yöntemler için Yakınsama Analizindeki Tarihsel Gelişmeler". Brezinski, C.; Wuytack, L. (eds.) içinde. Sayısal Analiz: 20. Yüzyıldaki Tarihsel Gelişmeler. North-Holland. s. 241-263.

Ayrıca Bakınız

Kantorovich teoremi (Leonid Kantorovich tarafından bulunan Newton yönteminin yakınsaklığı ile ilgili ifade)

Yetki kontrolü

LCCN: sh92005466

Sorular ve Yanıtlar

S: Newton yöntemi nedir?

C: Newton yöntemi, bir fonksiyonun gerçek sıfırlarını bulmak için kullanılan bir algoritmadır. Köklerini hesaplamak için fonksiyonun türevini kullanır ve sıfırın konumu için bir ilk tahmin değeri gerektirir.

S: Bu yöntemi kim geliştirdi?

C: Yöntem Sir Isaac Newton ve Joseph Raphson tarafından geliştirilmiştir, bu nedenle bazen Newton-Raphson yöntemi olarak da adlandırılır.

S: Bu algoritma nasıl çalışır?

C: Bu algoritma, ilk tahmin değerini (xn) alan ve yeni bir tahmin (xn+1) hesaplayan bir formülü tekrar tekrar uygulayarak çalışır. Bu işlemin tekrarlanmasıyla, tahminler fonksiyonun sıfırına yaklaşacaktır.

S: Bu algoritmayı kullanmak için ne gereklidir?

C: Bu algoritmayı kullanmak için, sıfırın konumu için bir başlangıç "tahmin değerine" ve verdiğiniz fonksiyonun türevi hakkında bilgiye sahip olmanız gerekir.

S: Newton Yöntemini grafiksel olarak nasıl açıklayabiliriz?

C: Newton Yöntemini grafiksel olarak x ekseni ile teğet doğrular arasındaki kesişimlere bakarak açıklayabiliriz. İlk olarak, f'ye xn'de teğet olan bir doğru hesaplanır. Daha sonra, bu teğet doğrusu ile x ekseni arasındaki kesişimi buluruz ve x konumunu bir sonraki tahminimiz olan xn+1 olarak kaydederiz.

S: Newton Yöntemini kullanırken herhangi bir sınırlama var mı?

C: Evet, ilk tahmin değeriniz gerçek kökten çok uzaksa, daha uzun zaman alabilir veya hatta etrafındaki salınımlar veya ondan uzaklaşması nedeniyle köke yakınsamada başarısız olabilir.