Poincaré varsayımı
Poincaré Varsayımı matematikte kürelerle ilgili bir sorudur. Adını 1904 yılında bu soruyu formüle eden Fransız matematikçi ve fizikçi Henri Poincaré'den alır.
Küre (2 boyutlu bir yüzey olduğu için 2-küre olarak da adlandırılır, ancak genellikle üç boyutlu bir uzayın içinde görülür), üzerindeki herhangi bir ilmeğin bir noktaya kadar daraltılabilmesi özelliğine sahiptir (kürenin etrafına bir lastik bant sarılırsa, onu bir noktaya kadar kaydırmak mümkündür). Matematikçiler 2-kürenin basitçe bağlantılı olduğunu söylerler. Diğer uzaylar bu özelliğe sahip değildir, örneğin çörek: tüm çöreğin etrafını bir kez dolaşan bir lastik bant, yüzeyden ayrılmadan bir noktaya kaydırılamaz.
Matematikçiler bu özelliğin 2-küreye özgü olduğunu biliyorlardı, yani kenarları olmayan ve yeterince küçük olan (matematikçi terimleriyle kompakt) herhangi bir basit bağlantılı uzayın aslında 2-küre olduğunu biliyorlardı. Ancak küçüklük fikrini ortadan kaldırırsak bu artık doğru değildir, çünkü sonsuz büyüklükteki bir düzlem de basitçe bağlantılıdır. Ayrıca, düzenli bir disk (bir daire ve içi) basitçe bağlantılıdır, ancak bir kenarı (sınırlayıcı daire) vardır.
Varsayım, aynı şeyin doğal olarak dört boyutta yaşayan bir nesne olan 3-küre için de geçerli olup olmadığını sormaktadır. Bu soru, özellikle topoloji alanında olmak üzere modern matematiğin büyük bir bölümünü motive etmiştir. Soru nihayet 2002 yılında Rus matematikçi Grigori Perelman tarafından geometri yöntemleriyle çözüldü ve bunun gerçekten doğru olduğu gösterildi. Çalışması için Fields Madalyası ve 1 milyon dolarlık Milenyum Ödülü ile ödüllendirildi, ancak her ikisini de reddetti.
Poincaré varsayımı daha yüksek boyutlara da genişletilebilir: bu genelleştirilmiş Poincaré varsayımıdır. Şaşırtıcı bir şekilde, daha yüksek boyutlu küreler için bu gerçeği kanıtlamak daha kolaydı: 1960 yılında Smale bunun 5-küre, 6-küre ve daha yüksek boyutlar için doğru olduğunu kanıtladı. Freedman 1982'de bunun 4-küre için de doğru olduğunu kanıtladı ve bu nedenle Fields Madalyası ile ödüllendirildi.
Sorular ve Yanıtlar
S: Poincaré Varsayımı nedir?
C: Poincaré Varsayımı, matematikte kürelerle ilgili bir sorudur ve Henri Poincaré'nin adıyla anılır. 2-kürenin bazı özelliklerinin 3-küre için de geçerli olup olmadığını sorar.
S: 2-küre hangi özelliğe sahiptir?
C: 2-küre, üzerindeki herhangi bir ilmeğin bir noktaya daraltılabilmesi özelliğine sahiptir.
S: Bu özellik 2-küreye özgü müdür?
C: Bu özellik, kenarları olmayan küçük uzaylar açısından 2-küreye özgüdür. Bununla birlikte, sonsuz büyüklükteki bir düzlem ve düzenli bir disk (bir daire ve içi) basitçe bağlantılıdır ancak kenarları vardır.
S: Bunun daha yüksek boyutlu küreler için doğru olduğunu kim kanıtladı?
C: 1960 yılında Smale bunun 5-küreler, 6-küreler ve daha yüksek boyutlu küreler için doğru olduğunu kanıtladı ve 1982 yılında Freedman bunun 4 boyutlu küreler için de doğru olduğunu kanıtladı.
S: Poincaré varsayımını kim çözdü?
C: Poincaré varsayımı, doğru olduğunu göstermek için geometri yöntemlerini kullanan Rus matematikçi Grigori Perelman tarafından çözülmüştür.
S: Perelman çalışmaları için hangi ödülleri aldı?
C: Perelman, Poincaré varsayımını çözme çalışmaları için Fields Madalyası ve 1 milyon dolarlık Milenyum Ödülü aldı; ancak her iki ödülü de reddetti.
