AlegsaOnline.com

Euler'in özdeşliği

Yazar: Leandro Alegsa

18-05-2022

Bazen Euler denklemi olarak da adlandırılan Euler özdeşliği bu denklemdir:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

π {\displaystyle \pi } $\pi$ , pi

π ≈ 3,14159 {\displaystyle \pi \approx 3,14159} $\pi \approx 3.14159$

e {\displaystyle e} $e$ , Euler'in Sayısı

e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\approx 2,71828} $e\approx 2.71828$

i {\displaystyle i} $i$ , hayali birim

ı = √ - 1 {\displaystyle \imath =\surd {-1}} $\imath =\surd {-1}$

Euler özdeşliği adını İsviçreli matematikçi Leonard Euler'den almıştır. Bunu kendisinin icat ettiği açık değildir.

Physics World tarafından yapılan bir ankete katılanlar bu kimliği "şimdiye kadar yazılmış en derin matematiksel ifade", "tekinsiz ve yüce", "kozmik güzellikle dolu" ve "akıllara durgunluk veren" olarak nitelendirdi.

Taylor Serileri kullanılarak Euler Özdeşliğinin matematiksel ispatı

Birçok denklem, birbirine eklenen bir dizi terim olarak yazılabilir. Buna Taylor serisi denir

Üstel fonksiyon e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ Taylor serisi olarak yazılabilir

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

Sinüs de şu şekilde yazılabilir

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}} $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

ve Kosinüs olarak

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}} $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Burada, bir modelin oluştuğunu görüyoruz. e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ sinüs ve kosinüsün Taylor Serilerinin bir toplamı gibi görünüyor, ancak tüm işaretler pozitif olarak değiştirilmiş. Aslında kanıtladığımız özdeşlik e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} şeklindedir. $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Dolayısıyla, sol tarafta e i x {\displaystyle e^{ix}} $e^{ix}$ 'nin Taylor serisi 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Burada bir model görebiliriz, her ikinci terim sinüsün terimlerinin i katıdır ve diğer terimler kosinüsün terimleridir.

Sağ tarafta cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} $\cos(x)+i\sin(x)$ , Taylor serisi kosinüsün Taylor serisi, artı i kere sinüsün Taylor serisi olarak gösterilebilir:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )} $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

Eğer bunları toplarsak

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Bu yüzden:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Şimdi x'i π {\displaystyle \pi } ile değiştirirsek $\pi$ Bizde..

e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )} $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

O zaman biliyoruz ki

cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1} $\cos(\pi )=-1$

sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0} $\sin(\pi )=0$

Bu yüzden:

e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

QED

Sorular ve Yanıtlar

S: Euler özdeşliği nedir?

C: Bazen Euler denklemi olarak da adlandırılan Euler özdeşliği, matematiksel sabitler pi, Euler Sayısı ve hayali birim ile birlikte temel matematiksel işlemlerden üçünü (toplama, çarpma ve üs alma) içeren bir denklemdir. Denklem e^(i*pi) + 1 = 0 şeklindedir.

S: Leonard Euler kimdir?

C: Leonard Euler, bu özdeşliğe adını veren İsviçreli bir matematikçiydi. Kendisinin icat edip etmediği net değildir.

S: Euler'in kimliğine verilen tepkilerden bazıları nelerdir?

C: Physics World anketine katılanlar kimliği "şimdiye kadar yazılmış en derin matematiksel ifade", "tekinsiz ve yüce", "kozmik güzellikle dolu" ve "akıllara durgunluk veren" olarak nitelendirdi.

S: Bu denklemde yer alan bazı sabitler nelerdir?

C: Bu denklemde yer alan sabitler pi sayısı (yaklaşık 3,14159), Euler Sayısı (yaklaşık 2,71828) ve hayali bir birimdir (-1'e eşittir).

S: Bu denklemde yer alan işlemlerden bazıları nelerdir?

C: Bu denklemde yer alan işlemler toplama, çarpma ve üs alma işlemleridir.

S: Pi sayısını matematiksel olarak nasıl ifade edebiliriz?

C: Pi sayısı matematiksel olarak π ≈ 3.14159 {\displaystyle \pi \approx 3.14159} şeklinde ifade edilebilir.

S: Euler Sayısını matematiksel olarak nasıl ifade edebiliriz? C: Euler Sayısı matematiksel olarak e ≈ 2.71828 {\displaystyle e\approx 2.71828} şeklinde ifade edilebilir.