Taylor serisi

Bu seri fikri ilk olarak Antik Yunan filozofu Elealı Zeno tarafından ortaya atılmıştır. "Zeno'nun parodoksu" adı verilen paradoks ortaya çıktı. Sonsuz sayıda değeri toplayıp sonuç olarak tek bir sonlu değer elde etmenin imkansız olacağına inanıyordu.

Bir başka Yunan filozof, Aristoteles, bu felsefi soruya bir yanıt bulmuştur. Ancak tükenme yöntemini kullanarak matematiksel bir çözüm bulan Arşimet olmuştur. Bir şey sonsuz sayıda küçük parçaya bölündüğünde, hepsi bir araya getirildiğinde yine de tek bir bütün oluşturacaklarını kanıtlamayı başardı. Eski Çinli matematikçi Liu Hui de birkaç yüz yıl sonra aynı şeyi kanıtladı.

Taylor serisinin bilinen en eski örnekleri 1300'lerde Hindistan'da Sañgamāgrama'lı Mādhava'nın çalışmalarıdır. Daha sonraki Hintli matematikçiler onun sinüs, kosinüs, tanjant ve arktanjant trigonometrik fonksiyonları ile ilgili çalışmaları hakkında yazmışlardır. Mādhava'nın yazılarından ya da kayıtlarından hiçbiri bugün hâlâ mevcut değildir. Diğer matematikçiler çalışmalarını Mādhava'nın keşiflerine dayandırmış ve 1500'lere kadar bu serilerle daha fazla çalışmışlardır.

İskoç matematikçi James Gregory 1600'lerde bu alanda çalışmıştır. Gregory, Taylor serileri üzerinde çalışmış ve birkaç Maclaurin serisi yayınlamıştır. 1715 yılında Brook Taylor, seriyi tüm fonksiyonlara uygulamak için genel bir yöntem keşfetti. (Önceki araştırmaların tümü, yöntemin yalnızca belirli fonksiyonlara nasıl uygulanacağını gösteriyordu). Colin Maclaurin 1700'lerde Taylor serisinin özel bir durumunu yayınladı. Sıfıra dayalı olan bu seriye Maclaurin serisi adı verilir.

Bir Taylor serisi, düzgün bir fonksiyon olan (veya matematiksel terimlerle "sonsuza kadar farklılaşabilen") herhangi bir ƒ(x) fonksiyonunu tanımlamak için kullanılabilir. ƒ fonksiyonu gerçek veya karmaşık olabilir. Taylor serisi daha sonra fonksiyonun bazı a sayılarının komşuluğunda nasıl göründüğünü tanımlamak için kullanılır.

Güç serisi olarak yazılan bu Taylor serisi şu şekildedir:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Bu formül sigma gösteriminde şu şekilde de yazılabilir:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}

Burada n! n'in faktöriyelidir. ƒ ⁽ⁿ⁾ (a) ƒ'nin a noktasındaki n. türevidir. a {\displaystyle a} fonksiyonun etki alanındaki bir sayıdır. Bir fonksiyonun Taylor Serisi o fonksiyona eşitse, fonksiyona "analitik fonksiyon" denir.

Maclaurin serisi

a = 0 olduğunda {\displaystyle a=0} fonksiyonuna Maclaurin serisi adı verilir. Kuvvet serisi olarak yazılan Maclaurin serisi aşağıdaki gibi görünür:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

Sigma notasyonunda yazıldığında, Maclaurin serisi şöyledir:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}

Bazı önemli Taylor serileri ve Maclaurin serileri şunlardır.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ tüm x için {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ tüm x için {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 tüm x için {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n tüm x için {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ tüm x için {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\! }

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ tüm | x | < 1 için {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n tüm | x | < 1 için {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\! }

Burada B n {\displaystyle B_{n}} n'inci Bernoulli sayısıdır ve ln {\displaystyle \ln } doğal logaritmadır.