Üstel fonksiyon

Özellikler

Üstel fonksiyonlar üs alma işlemini kullandıkları için aynı kuralları izlerler. Böylece,

exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ) = e x + y {\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)=e^{x+y}} . Bu, x a ⋅ x b = x a + b {\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}} kuralını takip eder. .

Doğal logaritma, üstel bir fonksiyonun ters işlemidir.

ln ( x ) = log e ( x ) = log ( x ) log ( e ) {\displaystyle \ln(x)=\log _{e}(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}}

Üstel fonksiyon, diferansiyel hesapta ilginç ve önemli bir özelliği yerine getirir,

d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}} ,

Bu, üstel fonksiyonun eğiminin üstel fonksiyonun kendisi olduğu anlamına gelir ve daha sonra bu, x = 0'da 1 eğime sahip olduğu anlamına gelir {\displaystyle x=0} . Bu özellikler, matematikte önemli bir fonksiyon olmasının nedenidir.

Uygulamalar

Üstel fonksiyon, matematiksel fonksiyonlar arasında en kullanışlı olanlardan biridir. Neredeyse tüm bilim dallarında kullanılan üstel büyümeyi temsil etmek için kullanılır ve Finans alanında da öne çıkar. Radyoaktif bozunma ve ışığın emilmesi gibi üstel bozunma da gerçekleşir.

Gerçek hayatta üstel bir fonksiyona örnek olarak bir bankadaki faiz gösterilebilir. Bir kişi ayda %3 faiz alan bir hesaba 100 sterlin yatırırsa, her ay bakiye şu şekilde olacaktır (paraya dokunulmadığı varsayılırsa):

Ay	Denge	Ay	Denge
Ocak	£100.00	Temmuz	£119.41
Şubat	£103.00	Ağustos	£122.99
Mart	£106.09	Eylül	£126.68
Nisan	£109.27	Ekim	£130.48
Mayıs	£112.55	Kasım	£134.39
Haziran	£115.93	Aralık	£138.42

Faizden gelen ekstra paranın her ay nasıl arttığına dikkat edin. Orijinal bakiye ne kadar büyükse, kişi o kadar fazla faiz alacaktır.

Üstel fonksiyonların iki matematiksel örneği aşağıda gösterilmiştir.

Matematiksel sabit e ile ilişki

Taban ( a {\displaystyle a} ) sıfırdan büyük herhangi bir sayı, örneğin 10 veya 1/2 olabilse de, genellikle e adı verilen özel bir sayıdır. e sayısı tam olarak yazılamaz, ancak neredeyse 2,71828'e eşittir.

e sayısı her üstel fonksiyon için önemlidir. Örneğin, bir banka her gün yüzde 0,01 faiz ödüyor. Bir kişi faiz parasını alır ve bir kutuya koyar. 10.000 gün (yaklaşık 30 yıl) sonra, başladığı paranın 2 katına sahip olur. Başka bir kişi faiz parasını alır ve bankaya geri koyar. Banka şimdi ona faiz üzerinden faiz ödediği için, para miktarı üstel bir fonksiyondur. 10.000 gün sonra, başladığı paranın 2 katı kadar parası yoktur, ancak başladığı paranın 2,718145 katı kadar parası vardır. Bu sayı e sayısına çok yakındır. Eğer banka daha sık faiz öderse, yani her seferinde ödenen miktar daha az olursa, o zaman sayı e sayısına daha yakın olacaktır.

Bir kişi, e sayısının üstel fonksiyonlar için neden önemli olduğunu görmek için resme de bakabilir. Resimde üç farklı eğri bulunmaktadır. Siyah noktaların olduğu eğri, tabanı e'den biraz daha küçük olan bir üstel fonksiyondur. Kısa siyah çizgilerin olduğu eğri, tabanı e'den biraz daha büyük olan bir üstel fonksiyondur. Mavi eğri, tabanı tam olarak e'ye eşit olan bir üstel fonksiyondur. Kırmızı çizgi, mavi eğriye teğettir. Mavi eğriye, onu kesmeden bir noktada dokunur. Bir kişi kırmızı eğrinin x eksenini, yani soldan sağa giden doğruyu -1'de kestiğini görebilir. Bu, e tabanlı üstel fonksiyonun özel olmasının nedenidir.

e, f (x) = ax (mavi eğri) üstel fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevinin değerinin tam olarak 1 olduğu tek a sayısıdır. Karşılaştırma için 2x (noktalı eğri) ve 4x (kesikli eğri) fonksiyonları gösterilmiştir; bunlar eğim 1 (kırmızı) doğrusuna teğet değildir.