Antiderivatif

Antidiferansiyasyon (belirsiz integrasyon olarak da adlandırılır) matematikte yapılan bir şeydir. Türev almanın tam tersidir.

Antiderivatifler size genel bir şekilde boyut hakkında bilgi verebilir. Antidiferansiyasyon denklemler gibi şeyler üzerinde yapılır. Antidiferansiyasyon size antiderivatif denilen bir şey verir. Antiderivatif başka bir denklem türüdür. Antidiferansiyasyon, limitli ama limitsiz entegrasyon gibidir. Bu yüzden belirsiz olarak adlandırılır.

Bir antiderivatif ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx} şeklinde yazılır. {\displaystyle \int x\ dx}

Basit entegrasyon

a x n {\displaystyle ax^{n}} integralini almak için {\displaystyle ax^{n}}

  • n'in kuvvetine 1 ekleyin {\displaystyle n} nBu nedenle bir x n {\displaystyle ax^{n}}{\displaystyle ax^{n}} artık bir x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}}'dir. {\displaystyle ax^{n+1}}
  • Tüm bunları yeni güce bölün, böylece şimdi a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}} olur.} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • Sabit c {\displaystyle c}{\displaystyle c} ekleyin, böylece şimdi a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} olur. {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Bu şu şekilde gösterilebilir:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Çok sayıda x {\displaystyle x}x terimi olduğunda, her bir parçayı kendi başına integre edin:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c} {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Bu yalnızca parçalar ekleniyor veya çıkarılıyorsa çalışır).

Örnekler

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c} {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Kesirleri ve kökleri kuvvetlere dönüştürmek işi kolaylaştırır:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c} {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

Bir parantezin bütünleştirilmesi ("zincir kuralı")

( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} gibi bir parantezi entegre etmek istiyorsanız {\displaystyle (2x+4)^{3}}bunu farklı bir şekilde yapmamız gerekiyor. Buna zincir kuralı denir. Basit entegrasyon gibidir. Yalnızca parantez içindeki x {\displaystyle x}x 1'in kuvvetine sahipse (doğrusalsa) çalışır, örneğin x {\displaystyle x}x veya 5 x {\displaystyle 5x}{\displaystyle 5x} (x 5 {\displaystyle x^{5}}{\displaystyle x^{5}} veya x - 7 {\displaystyle x^{-7}}{\displaystyle x^{-7}} değil).

Yapmak için ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • 3'ün kuvvetine 1 ekleyin {\displaystyle 3}{\displaystyle 3} , böylece şimdi ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}} olur. {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}} elde etmek için tüm bunları yeni güce bölün. {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • Tüm bunları parantezin türevine bölün ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Sabit c {\displaystyle c}{\displaystyle c} eklenerek 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c} elde edilir. {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Örnekler

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

İlgili sayfalar

Sorular ve Yanıtlar

S: Antidiferansiyasyon nedir?


C: Antidiferansiyasyon (belirsiz integral olarak da adlandırılır) kalkülüste belirli bir fonksiyonu bulma sürecidir. Türev almanın tersidir ve bir fonksiyonun işlenerek antiderivatif adı verilen başka bir fonksiyon (veya fonksiyon sınıfı) elde edilmesini içerir.

S: Nasıl temsil edilir?


C: Tek harf olarak gösterildiğinde, antiderivatifler genellikle F ve G gibi büyük romen harfleri şeklini alır. Genel olarak, bir antiderivatif ∫f(x) dx şeklinde yazılır.

S: Antidiferansiyasyon neleri içerir?


C: Antidiferansiyasyon, bir fonksiyonu işleyerek antiderivatif adı verilen başka bir fonksiyon (veya fonksiyon sınıfı) elde etmeyi içerir.

S: İntegrasyondan farkı nedir?


C: Antidiferansiyasyon, limitleri içermediği için entegrasyondan farklıdır - bu nedenle belirsiz entegrasyon olarak adlandırılır.

S: Antidiferansiyasyonun nasıl ifade edilebileceğine dair bazı örnekler nelerdir?


C: Antidiferansiyasyonun nasıl ifade edilebileceğine dair örnekler arasında tek harflerle gösterildiğinde F ve G veya genel formda yazıldığında ∫f(x) dx yer alır.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3