İntegral

Kalkülüste integral, bir denklemin grafiğinin altındaki alandır (bazen "eğrinin altındaki alan" olarak da söylenir). İntegral, türevin tersidir ve diferansiyel hesabın zıttıdır. Türev, bir eğrinin değişim oranı olarak dikliğidir (veya "eğimidir"). "İntegral" kelimesi "tam sayılarla ilgili" anlamına gelen bir sıfat olarak da kullanılabilir.

Kalkülüste integralin sembolü: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ uzun bir "S" harfi olarak. Bu sembol ilk olarak Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından, y = f(x) gibi bir denklemin kapladığı alanın toplamını ifade etmek için stilize edilmiş "ſ" (summa, Latince toplam) olarak kullanılmıştır.

İntegraller ve türevler, matematiğin kalkülüs adı verilen bir dalının parçasıdır. Bu ikisi arasındaki bağlantı çok önemlidir ve Kalkülüsün Temel Teoremi olarak adlandırılır. Teorem, bir toplamanın bir çıkarma ile tersine çevrilebilmesine benzer şekilde, bir integralin bir türev ile tersine çevrilebileceğini söyler.

Entegrasyon, bir problemde birimleri çarpmaya çalışırken yardımcı olur. Örneğin, oran içeren bir problem, ( mesafe zaman ) {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , sadece mesafe içeren bir cevaba ihtiyaç duyuyorsa, bir çözüm zamana göre integral almaktır. Bu, ( mesafe zaman ) × zaman {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ içindeki zamanı iptal etmek için zamanla çarpmak anlamına gelir. Bu, hız grafiğinin küçük dilimlerini bir araya getirerek yapılır. Dilimlerin genişliği sıfıra yakındır, ancak bunları sonsuza kadar eklemek bir bütün oluşturmalarını sağlar. Buna Riemann Toplamı denir.

Bu dilimler toplandığında, ilk denklemin türevi olan denklem elde edilir. İntegraller, birçok küçük şeyi elle toplamanın bir yolu gibidir. Toplama gibidir, yani 1 + 2 + 3 + 4.... + n {\displaystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ . Entegrasyonun farkı, aradaki tüm ondalık sayıları ve kesirleri de eklememiz gerektiğidir.

İntegrasyonun yararlı olduğu bir başka zaman da bir katının hacmini bulmaktır. Katının iki boyutlu (genişliği olmayan) dilimlerini, bir genişlik elde edene kadar sonsuza kadar birbirine ekleyebilir. Bu, nesnenin artık üç boyuta sahip olduğu anlamına gelir: orijinal iki boyut ve bir genişlik. Bu, tanımlanan üç boyutlu nesnenin hacmini verir.

İntegrasyon, a, b ve y = f(x) verildiğinde s yüzeyini bulmakla ilgilidir. Yukarıda grafiği verilen a'dan b'ye integralin formülü şöyledir:
Formül: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

İntegral nedir (animasyon)

Entegrasyon Yöntemleri

Antiderivatif

Kalkülüsün temel teoremine göre, integral türevin tersidir.

Eğer 2 x {\displaystyle 2x} fonksiyonunu alırsak $2x$ 'nin integralinin 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ x 2 {\displaystyle x^{2}} olduğunu söyleyebiliriz. $x^{2}$ . İntegral değil, integral diyoruz, çünkü bir fonksiyonun antiderivatifi benzersiz değildir. Örneğin, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ aynı zamanda 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ 'e farklılaşır. Bu nedenle, karşıt türev alınırken bir C sabiti eklenmelidir. Buna belirsiz integral denir. Bunun nedeni, bir fonksiyonun türevini bulurken, fonksiyonda olduğu gibi sabitlerin 0'a eşit olmasıdır

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . 0'a dikkat edin: sadece türevimiz varsa onu bulamayız, bu nedenle integral şöyledir

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Basit Denklemler

y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ gibi basit bir denklem aşağıdaki teknik kullanılarak x'e göre entegre edilebilir. İntegral almak için, x'in yükseltildiği güce 1 eklersiniz ve ardından x'i bu yeni gücün değerine bölersiniz. Bu nedenle, normal bir denklemin integrali şu kuralı izler: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

Sondaki d x {\displaystyle dx} $dx$ x'e göre, yani x değiştikçe integral aldığımızı gösteren şeydir. Bu, türev almanın tersi olarak görülebilir. Ancak, integral alırken eklenen bir sabit, C, vardır. Buna integral sabiti denir. Bu gereklidir çünkü bir tamsayının türevi sıfırla sonuçlanır, bu nedenle sıfırın integrali (herhangi bir integrandın sonuna konabilir) bir tamsayı, C üretir.

Birden fazla terime sahip denklemler, her bir terimin ayrı ayrı integre edilmesiyle basitçe entegre edilir:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

e ve ln içeren entegrasyon

e ve doğal logaritma kullanarak integral almak için belirli kurallar vardır. En önemlisi, e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ kendisinin integralidir (bir entegrasyon sabiti eklenerek): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Doğal logaritma, ln, 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ içeren denklemlerin integralini alırken kullanışlıdır. Bunlar yukarıdaki formül kullanılarak entegre edilemez (güce bir ekle, güce böl), çünkü güce bir eklemek 0 üretir ve 0'a bölmek mümkün değildir. Bunun yerine, 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ integrali ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

Daha genel bir biçimde: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

İki dikey çubuk mutlak değeri gösterir; f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) işaret (pozitif veya negatif) göz ardı edilir. Bunun nedeni, negatif sayıların doğal logaritması için bir değer olmamasıdır.

Özellikler

Fonksiyonların toplamı

Bir fonksiyonlar toplamının integrali, her bir fonksiyonun integralinin toplamıdır. yani,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Bunun kanıtı basittir: Bir integralin tanımı, toplamların bir limitidir. Böylece

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Her iki integralin de aynı limitlere sahip olduğuna dikkat edin.

Entegrasyondaki sabitler

Bir sabit, bir fonksiyonla integral içinde olduğunda, sabit çıkarılabilir. Ayrıca, bir c sabitine bir fonksiyon eşlik etmediğinde, değeri c * x'tir,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ ve

Bu sadece bir sabit ile yapılabilir.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Kanıt yine bir integral tanımı ile yapılır.

Diğer

Eğer a, b ve c sıralı ise (yani x ekseninde birbiri ardına geliyorsa), f(x)'in a noktasından b noktasına integrali artı f(x)'in b noktasından c noktasına integrali, a noktasından c noktasına integraline eşittir,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ eğer sıralı iseler. (Bu durum a, b, c sıralı olmadığında da geçerlidir, eğer ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ tanımlarsak).

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Bu, kalkülüsün temel teoremini (FTC) takip eder: F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Yine FTC'yi takip ediyorum: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Sorular ve Yanıtlar

S: İntegral nedir?

C: İntegral, "eğrinin altındaki alan" olarak da bilinen bir denklem grafiğinin altındaki alandır. Türevin tersidir ve kalkülüs adı verilen matematik dalının bir parçasıdır.

S: İntegrasyon sembolü neye benziyor?

C: Kalkülüste integralin sembolü uzun bir "S" harfine benzer: ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

S: İntegraller türevlerle nasıl ilişkilidir?

C: İntegraller ve türevler, bir toplamanın çıkarma ile tersine çevrilebilmesine benzer şekilde, bir integralin bir türev ile tersine çevrilebileceğini belirten kalkülüsün temel teoremi ile bağlantılıdır.

S: İntegrasyon ne zaman kullanılabilir?

C: İntegrasyon, bir problemde birimleri çarpmaya çalışırken veya bir katının hacmini bulurken kullanılabilir. İki boyutlu dilimleri genişlik olana kadar birbirine eklemeye yardımcı olur, nesneye üç boyut ve hacmini verir.

S: İntegrasyon toplama işlemine nasıl benzer?

C: İntegrasyon, birçok küçük şeyi bir araya getirmesi bakımından toplamaya benzer, ancak entegrasyonda aradaki tüm ondalık sayıları ve kesirleri de eklememiz gerekir.

S: Riemann toplamı ne anlama gelir?

C: Riemann toplamı, oran grafiğinin küçük dilimlerini tek bir denklem oluşturacak şekilde toplayana kadar bir araya getirmeyi ifade eder.