Kutupsal eylemsizlik momenti

Not: Farklı disiplinler atalet momenti terimini farklı momentleri ifade etmek için kullanmaktadır. Fizikte, eylemsizlik momenti kesinlikle bir eksenden uzaklığa göre kütlenin ikinci momentidir ve uygulanan bir tork nedeniyle bir nesnenin açısal ivmesini karakterize eder. Mühendislikte (özellikle mekanik ve inşaat), eylemsizlik momenti genellikle alanın ikinci momentini ifade eder. Kutupsal atalet momentini okurken, atalet momentinden değil "alanın kutupsal ikinci momentinden" bahsedildiğini doğrulamaya dikkat edin. Kutupsal ikinci alan momenti dördüncü kuvvete göre uzunluk birimine sahip olacaktır (örn. m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ veya i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ), eylemsizlik momenti ise kütle çarpı uzunluğun karesidir (örn. k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} $kg*m^{2}$ veya l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}} $lb*in^{2}$ ).

Kutupsal ikinci alan momenti ("kutupsal eylemsizlik momenti" olarak da adlandırılır), bir nesnenin şeklinin bir fonksiyonu olarak burulmaya direnme kabiliyetinin bir ölçüsüdür. Dik eksen teoremiyle bağlantılı ikinci alan momentinin bir yönüdür; burada düzlemsel ikinci alan momenti, nötr eksenine paralel bir düzlemde uygulanan bir kuvvete maruz kaldığında deformasyona (eğilme) karşı direncini tanımlamak için bir kirişin kesit şeklini kullanırken, kutupsal ikinci alan momenti, kirişin nötr eksenine dik bir düzlemde bir moment (tork) uygulandığında deformasyona (burulma) karşı direncini tanımlamak için bir kirişin kesit şeklini kullanır. Alanın düzlemsel ikinci momenti çoğunlukla I {\displaystyle I} harfi ile gösterilirken, alanın kutupsal ikinci momenti çoğunlukla I z {\displaystyle I_{z}} harfi ile gösterilir. $I_{z}$ veya J harfi {\displaystyle J} $J$ mühendislik ders kitaplarında.

Kutupsal ikinci alan momenti için hesaplanan değerler çoğunlukla bir aracın aksında veya tahrik milinde olduğu gibi katı veya içi boş silindirik bir milin burulmaya karşı direncini tanımlamak için kullanılır. Silindirik olmayan kirişlere veya şaftlara uygulandığında, şaftın/kirişin eğrilmesi nedeniyle kutupsal ikinci alan momenti hesaplamaları hatalı olur. Bu durumlarda, değerin hesaplanmasına bir düzeltme sabitinin eklendiği bir burulma sabiti kullanılmalıdır.

Alanın kutupsal ikinci momenti uzunluk birimlerini dördüncü kuvvete ( L 4 {\displaystyle L^{4}} $L^{4}$ ); metrik birim sisteminde metre birimini dördüncü kuvvete ( m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ ) ve İngiliz birim sisteminde inç birimini dördüncü kuvvete ( i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ) taşır. Doğrudan hesaplama için matematiksel formül, bir şeklin alanı üzerinde çoklu integral olarak verilir, R {\displaystyle R} $R$ , keyfi bir O ekseninden ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ mesafede {\displaystyle O} $O$ .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

En basit haliyle, alanın kutupsal ikinci momenti, alanın iki düzlemsel ikinci momentinin toplamıdır, I x {\displaystyle I_{x}} $I_{x}$ ve I y {\displaystyle I_{y}} $I_{y}$ . Pisagor teoremini kullanarak, O eksenine olan uzaklık {\displaystyle O} $O$ , ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ , x {\displaystyle x} $x$ ve y {\displaystyle y} $y$ bileşenlerine ayrılabilir ve alandaki değişim, d A {\displaystyle dA} $dA$ x {\displaystyle x} $x$ ve y {\displaystyle y} $y$ bileşenlerine ayrılmıştır, d x {\displaystyle dx} $dx$ ve d y {\displaystyle dy} $dy$ .

Alanın düzlemsel ikinci momentleri için iki formül verilmiştir:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ ve I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

Alanın kutupsal ikinci momenti ile ilişkisi şu şekilde gösterilebilir:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\displaystyle \bu nedenle J=I_{x}+I_{y}} $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

Temelde, kutupsal ikinci alan momentinin büyüklüğü arttıkça (yani büyük nesne kesit şekli), nesnenin burulma sapmasına neden olmak için daha fazla tork gerekecektir. Bununla birlikte, bunun bir nesneye kendisini oluşturan malzemeler tarafından sağlanan burulma sertliği üzerinde herhangi bir etkisi olmadığı unutulmamalıdır; kutupsal ikinci alan momenti, bir nesneye yalnızca şekli tarafından sağlanan sertliktir. Malzeme özellikleri tarafından sağlanan burulma sertliği kayma modülü olarak bilinir, G {\displaystyle G} $G$ . Rijitliğin bu iki bileşenini birbirine bağlayarak, bir kirişin bükülme açısı hesaplanabilir, θ {\displaystyle \theta } $\theta$ kullanarak:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Burada T {\displaystyle T} $T$ uygulanan moment (tork) ve l {\displaystyle l} $l$ kirişin uzunluğudur. Görüldüğü gibi, daha yüksek torklar ve kiriş uzunlukları daha yüksek açısal sapmalara yol açmaktadır; burada kutupsal ikinci alan momenti J {\displaystyle J} için daha yüksek değerler söz konusudur. $J$ ve malzeme kayma modülü, G {\displaystyle G} $G$ açısal sapma potansiyelini azaltır.

Alanın kutupsal ikinci momentinin ("Kutupsal Eylemsizlik Momenti") bir o ekseni etrafında rastgele bir alan şekli, R, için nasıl hesaplandığını gösteren bir şema, burada ρ, dA elemanına olan radyal mesafedir.

İlgili sayfalar

Moment (fizik)
Alanın ikinci momenti
Standart şekiller için alanın ikinci momentlerinin listesi
Kayma modülü

Sorular ve Yanıtlar

S: Fizikte eylemsizlik momenti nedir?

C: Fizikte eylemsizlik momenti, uygulanan bir tork nedeniyle bir nesnenin açısal ivmesini karakterize eden, bir eksenden uzaklığa göre kütlenin ikinci momentidir.

S: Kutupsal ikinci alan momenti mühendislikte neyi ifade eder?

C: Mühendislikte (özellikle mekanik ve inşaat), eylemsizlik momenti genellikle alanın ikinci momentini ifade eder. Kutupsal atalet momentini okurken, atalet momentinden değil "kutupsal ikinci alan momentinden" bahsedildiğini doğrulamaya dikkat edin. Alanın kutupsal ikinci momenti, dördüncü kuvvete göre uzunluk birimlerine sahip olacaktır (örneğin m^4 veya in^4).

S: Alanın kutupsal ikinci momentini nasıl hesaplarsınız?

C: Doğrudan hesaplama için matematiksel formül, keyfi bir O ekseninden ρ mesafede bir şeklin alanı, R, üzerinde çoklu integral olarak verilir. J_O=∬Rρ2dA. En basit haliyle, kutupsal ikinci