Asal sayı teoremi

Asal sayı teoremi sayı teorisinden bir teoremdir. Asal sayılar sayı aralığı boyunca eşit olarak dağılmamıştır. Teorem, sayılar büyüdükçe 1 ile belirli bir sayı arasında bir asal sayıya ulaşma olasılığının azaldığı fikrini resmileştirir. Bu olasılık yaklaşık n/ln(n)'dir, burada ln(n) doğal logaritma fonksiyonudur. Bu, 2n basamaklı bir asal sayıya ulaşma olasılığının n basamaklı bir sayıya ulaşma olasılığının yaklaşık yarısı kadar olduğu anlamına gelir. Örneğin, en fazla 1000 basamaklı pozitif tam sayılar arasında yaklaşık 2300'de biri asaldır (ln 10¹⁰⁰⁰ ≈ 2302.6), oysa en fazla 2000 basamaklı pozitif tam sayılar arasında yaklaşık 4600'de biri asaldır (ln 10²⁰⁰⁰ ≈ 4605.2). Başka bir deyişle, ilk N tamsayı arasında ardışık asal sayılar arasındaki ortalama boşluk kabaca ln(N)'dir.

On beş yaşındaki Carl Friedrich Gauss, 1793 yılında asal sayılar ile logaritma arasında bir bağlantı olduğundan şüphelenmiştir. Adrien-Marie Legendre de 1798 yılında böyle bir bağlantıdan şüphelenmiştir. Jacques Hadamard ve Charles-Jean de La Vallée Poussin, Gauss'tan bir asır sonra, 1896'da asal sayı teoremini kanıtladılar.

Sorular ve Yanıtlar

S: Asal sayı teoremi nedir?

C: Asal sayı teoremi, asal sayıların sayı aralığı boyunca nasıl dağıldığını açıklayan sayı teorisinden bir teoremdir.

S: Asal sayılar sayı aralığına eşit olarak mı dağılır?

C: Hayır, asal sayılar sayı aralığına eşit olarak dağılmaz.

S: Asal sayı teoremi neyi resmileştirir?

C: Asal sayı teoremi, 1 ile belirli bir sayı arasında bir asal sayıya ulaşma olasılığının sayılar büyüdükçe azaldığı fikrini resmileştirir.

S: 1 ile belirli bir sayı arasında bir asal sayıya ulaşma olasılığı nedir?

C: 1 ile belirli bir sayı arasında bir asal sayıya isabet etme olasılığı yaklaşık n/ln(n)'dir, burada ln(n) doğal logaritma fonksiyonudur.

S: 2n basamaklı bir asal sayıya ulaşma olasılığı n basamaklı bir asal sayıya ulaşma olasılığından daha mı büyüktür?

C: Hayır, 2n basamaklı bir asal sayıya ulaşma olasılığı n basamaklı bir sayıya ulaşma olasılığının yaklaşık yarısı kadardır.

S: Asal sayı teoremini kim kanıtladı?

C: Jacques Hadamard ve Charles-Jean de La Vallée Poussin, Gauss'un 1793'te asal sayılar ve logaritmalar arasında bir bağlantı olduğundan şüphelenmesinden bir yüzyıl sonra, 1896'da asal sayı teoremini kanıtladı.

S: İlk N tam sayı arasında ardışık asal sayılar arasındaki ortalama boşluk nedir?

C: İlk N tamsayı arasında ardışık asal sayılar arasındaki ortalama boşluk kabaca ln(N)'dir.