Cebirsel çeşitlilik
Matematikte, cebirsel çeşitler (çeşitler olarak da adlandırılır) cebirsel geometrinin temel çalışma nesnelerinden biridir. Cebirsel varyetenin ilk tanımları, onu reel veya karmaşık sayılar üzerinde bir polinom denklem sisteminin çözümlerinin kümesi olarak tanımlamıştır. Cebirsel çeşitliliğin modern tanımları, orijinal tanımın arkasındaki geometrik sezgiyi korumaya çalışırken bu kavramı genelleştirir.
Bir cebirsel çeşitliliğin tanımına ilişkin kurallar farklılık gösterir: Bazı yazarlar bir "cebirsel çeşitliliğin" tanımı gereği indirgenemez olmasını (yani Zariski topolojisinde kapalı olan iki küçük kümenin birleşimi olmamasını) şart koşarken, diğerleri bunu şart koşmaz. İlk kural kullanıldığında, indirgenemeyen cebirsel çeşitler cebirsel kümeler olarak adlandırılır.
Çeşitlilik kavramı manifold kavramına benzer. Bir çeşitlilik ile bir manifold arasındaki bir fark, bir çeşitliliğin tekil noktalara sahip olabilirken, bir manifoldun olmayacağıdır. Yaklaşık 1800 yılında ortaya atılan cebirin temel teoremi, karmaşık katsayılara sahip tek değişkenli monik bir polinomun (cebirsel bir nesne) köklerinin kümesi (geometrik bir nesne) tarafından belirlendiğini göstererek cebir ve geometri arasında bir bağlantı kurar. Bu sonucu genelleştiren Hilbert'in Nullstellensatz'ı, polinom halkalarının idealleri ile cebirsel kümeler arasında temel bir uygunluk sağlar. Matematikçiler, Nullstellensatz ve ilgili sonuçları kullanarak cebirsel kümelerle ilgili sorular ile halka teorisi soruları arasında güçlü bir uygunluk kurmuşlardır. Bu uygunluk, geometrinin diğer alt alanları arasında cebirsel geometrinin özelliğidir.
Bükülmüş kübik, projektif bir cebirsel çeşittir.
Sorular ve Yanıtlar
S: Cebirsel çeşitler nedir?
C: Cebirsel çeşitler, cebirsel geometrinin temel çalışma nesnelerinden biridir. Gerçek veya karmaşık sayılar üzerinde bir polinom denklem sisteminin çözümleri kümesi olarak tanımlanırlar.
S: Modern tanımlar orijinal tanımdan nasıl farklıdır?
C: Modern tanımlar, orijinal tanımın arkasındaki geometrik sezgiyi genelleştirirken korumaya çalışır. Bazı yazarlar bir "cebirsel çeşitliliğin" tanımı gereği indirgenemez olmasını (yani Zariski topolojisinde kapalı olan iki küçük kümenin birleşimi olmamasını) şart koşarken, diğerleri bunu şart koşmaz.
S: Bir çeşitlilik ile bir manifold arasındaki fark nedir?
C: Bir çeşitlilik tekil noktalara sahip olabilirken, bir manifold sahip olmayacaktır.
S: Cebirin temel teoremi neyi ortaya koyar?
C: Cebirin temel teoremi, karmaşık katsayılara sahip tek değişkenli monik bir polinomun (cebirsel bir nesne) köklerinin kümesi (geometrik bir nesne) tarafından belirlendiğini göstererek cebir ve geometri arasında bir bağlantı kurar.
S: Hilbert'in Nullstellensatz'ı ne sağlar?
C: Hilbert'in Nullstellensatz'ı polinom halkalarının idealleri ile cebirsel kümeler arasında temel bir uygunluk sağlar.
S: Bu bağıntı matematikçiler tarafından nasıl kullanılmıştır?
C: Matematikçiler bu yazışmayı kullanarak cebirsel kümelerle ilgili sorular ile halka teorisi soruları arasında güçlü bir yazışma kurmuşlardır.
S: Bu özel alanı geometri içindeki diğer alt alanlar arasında benzersiz kılan nedir? C: Cebirsel kümelere ilişkin sorular ile halka teorisine ilişkin sorular arasındaki bu güçlü ilişki, bu alanı geometrinin diğer alt alanları arasında benzersiz kılmaktadır.
