Cebirsel geometri
Cebirsel geometri, matematiğin polinom denklemlerini inceleyen bir dalıdır. Modern cebirsel geometri, geometrinin dili ve problemleri ile soyut cebirin, özellikle de değişmeli cebirin daha soyut tekniklerine dayanır.
Cebirsel geometrinin ana çalışma nesneleri, polinom denklem sistemlerinin çözüm kümelerinin geometrik tezahürleri olan cebirsel çeşitlerdir. Cebirsel çeşitlerin en çok çalışılan sınıflarının örnekleri şunlardır: doğrular, daireler, paraboller, elipsler, hiperboller, eliptik eğriler gibi kübik eğriler ve lemniscates gibi kuartik eğriler ve Cassini ovallerini içeren düzlem cebirsel eğriler. Düzlemdeki bir nokta, koordinatları verilen bir polinom denklemini sağlıyorsa cebirsel bir eğriye aittir. Temel sorular, tekil noktalar, bükülme noktaları ve sonsuzdaki noktalar gibi özel ilgi noktalarının incelenmesini içerir. Daha ileri düzey sorular, eğrinin topolojisini ve farklı denklemler tarafından verilen eğriler arasındaki ilişkileri içerir.
Cebirsel geometri modern matematikte merkezi bir yere sahiptir. Kullandığı kavramlar onu karmaşık analiz, topoloji ve sayı teorisi gibi çeşitli alanlara bağlar. Başlangıçta cebirsel geometri, birkaç değişkenli polinom denklem sistemlerini incelemekle ilgiliydi. Cebirsel geometri denklem çözmenin bıraktığı yerden başlar: Çoğu durumda, belirli bir denklem kümesinin sahip olduğu tüm çözümlerin özelliklerini bulmak, belirli bir çözümü bulmaktan daha önemlidir: bu, hem kavramsal hem de teknik açıdan tüm matematiğin en derin alanlarından bazılarına götürür.
20. yüzyılda cebirsel geometri çeşitli alt alanlara bölünmüştür.
- Cebirsel geometrinin ana akımı, cebirsel varyetelerin karmaşık noktalarının ve daha genel olarak cebirsel olarak kapalı bir alanda koordinatları olan noktaların incelenmesine ayrılmıştır.
- Rasyonel sayılar alanında veya bir sayı alanında koordinatları olan bir cebirsel çeşitliliğin noktalarının incelenmesi, cebirsel sayı teorisinin bir alt alanı olan aritmetik geometri (veya daha klasik olarak Diophantine geometrisi) haline geldi.
- Bir cebirsel çeşitliliğin gerçek noktalarının incelenmesi, gerçek cebirsel geometrinin konusudur.
- Tekillik teorisinin büyük bir kısmı cebirsel çeşitlerin tekilliklerine ayrılmıştır.
- Bilgisayarlar daha yaygın hale geldiğinde, 'hesaplamalı cebirsel geomeri' adlı bir alan gelişti. Bu alan cebirsel geometri ve bilgisayar cebirinin kesişimini incelemektedir. Açıkça verilen cebirsel çeşitlerin özelliklerini incelemek ve bulmak için algoritmaların ve yazılımların geliştirilmesiyle ilgilenir.
Cebirsel geometrinin ana akımının 20. yüzyıldaki gelişiminin çoğu, soyut cebirsel bir çerçevede gerçekleşmiş ve cebirsel çeşitlerin, çeşidi ortam koordinat uzayına yerleştirmenin herhangi bir özel yoluna bağlı olmayan "içsel" özelliklerine giderek daha fazla vurgu yapılmıştır. Topoloji, diferansiyel ve kompleks geometri alanlarındaki gelişmeler de aynı şekilde gerçekleşmiştir. Bu soyut cebirsel geometrinin en önemli başarılarından biri, Grothendieck'in şema teorisidir; bu teori, cebirsel çeşitleri incelemek için, diferansiyel ve analitik manifoldların incelenmesindeki kullanımına çok benzer bir şekilde sheaf teorisinin kullanılmasına izin verir. Bu, nokta kavramının genişletilmesiyle elde edilir: Klasik cebirsel geometride, bir afin varyetenin bir noktası, Hilbert'in Nullstellensatz'ı aracılığıyla, koordinat halkasının bir maksimal idealiyle tanımlanabilirken, karşılık gelen afin şemanın noktaları bu halkanın tüm asal idealleridir. Bu, böyle bir şemanın bir noktasının ya olağan bir nokta ya da bir alt çeşitlilik olabileceği anlamına gelir. Bu yaklaşım aynı zamanda, esas olarak karmaşık noktalarla ilgilenen klasik cebirsel geometrinin ve cebirsel sayı teorisinin dilinin ve araçlarının birleştirilmesini sağlar. Wiles'ın Fermat'nın son teoremi olarak adlandırılan ve uzun süredir devam eden varsayımı kanıtlaması bu yaklaşımın gücünün bir örneğidir.
Bu Togliatti yüzeyi beşinci dereceden cebirsel bir yüzeydir. Resim, gerçek lokusunun bir bölümünü temsil etmektedir
Sorular ve Yanıtlar
S: Cebirsel Geometri nedir?
C: Cebirsel geometri, matematiğin polinom denklemlerini inceleyen bir dalıdır.
S: Modern cebirsel geometride hangi teknikler kullanılır?
C: Modern cebirsel geometri, geometrinin dilini ve problemlerini ele almak için değişmeli cebir gibi soyut cebirden daha soyut teknikler kullanır.
S: Cebirsel geometri ne tür denklemler üzerinde çalışır?
C: Cebirsel geometri polinom denklemleri üzerinde çalışır.
S: Soyut cebiri nasıl kullanır?
C: Geometrinin dilini ve problemlerini anlamak için soyut cebiri, özellikle de değişmeli cebiri kullanır.
S: Bu alanda kullanılan belirli bir dil türü var mı?
C: Evet, modern cebirsel geometri geometri ile ilişkili dili ve problemleri kullanır.
S: Modern teknoloji bu alanı nasıl etkiledi?
C: Modern teknoloji, bu alandaki polinom denklemlerinin incelenmesinde soyut cebirden daha gelişmiş tekniklerin kullanılmasına olanak sağlamıştır.
