Hiperbol
Hiperbol bir tür konik kesittir. Diğer üç konik kesit türü gibi - paraboller, elipsler ve daireler - bir koni ile bir düzlemin kesişmesiyle oluşan bir eğridir. Bir hiperbol, düzlem bir çift koninin her iki yarısıyla kesiştiğinde oluşur ve birbirine tam olarak benzeyen, ancak zıt yönlere açılan iki eğri oluşturur. Bu, koninin ekseni ile düzlem arasındaki açı, koninin kenarındaki bir çizgi ile düzlem arasındaki açıdan daha az olduğunda meydana gelir.
Hiperboller doğada birçok yerde bulunabilir. Örneğin, başka bir nesnenin etrafındaki açık yörüngede bulunan bir nesne - asla geri dönmediği yerde - bir hiperbol şeklinde hareket edebilir. Bir güneş saatinde, gölgenin ucunun zaman içinde izlediği yol bir hiperboldür.
En iyi bilinen hiperbollerden biri f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x}
denkleminin grafiğidir.
Bir hiperbol, bir çift koninin her iki yarısı ile bir düzlem arasındaki kesişimdir.
Tanımlar ve denklemler
Bir hiperbolü oluşturan iki bağlantısız eğriye kollar veya dallar denir.
Dalların birbirine en yakın olduğu iki nokta köşe olarak adlandırılır. Bu iki nokta arasındaki çizgiye enine eksen veya ana eksen denir. Enine eksenin orta noktası hiperbolün merkezidir.
Merkezden uzak mesafelerde, hiperbolün dalları iki düz çizgiye yaklaşır. Bu iki doğruya asimptot denir. Merkezden uzaklık arttıkça, hiperbol asimptotlara gittikçe yaklaşır, ancak onlarla asla kesişmez.
Eşlenik eksen veya küçük eksen enine eksene dik veya dik açılıdır. Eşlenik eksenin uç noktaları, tepe noktasıyla kesişen ve enine eksene dik olan bir parçanın asimptotlarla kesiştiği yüksekliktedir.
Merkezi Kartezyen koordinat sisteminin orijini olan (0,0) noktasında bulunan ve x ekseni üzerinde bir enine eksene sahip olan bir hiperbol denklem olarak yazılabilir
x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}=1.} 
a, merkez ile bir tepe noktası arasındaki mesafedir. Enine eksenin uzunluğu 2a'ya eşittir. b, bir tepe noktasından bir asimptota dik bir doğru parçasının uzunluğudur. Eşlenik eksenin uzunluğu 2b'ye eşittir.
Yukarıdaki hiperbol tipinin iki kolu sola ve sağa açılır. Dallar yukarı ve aşağı açılıyorsa ve enine eksen y eksenindeyse, hiperbol denklem olarak yazılabilir
y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}=1.} 
Bir hiperbolün grafiği (kırmızı eğriler). Asimptotlar mavi kesikli çizgiler olarak gösterilmiştir. Merkez C olarak etiketlenmiştir ve iki köşe -a ve a'da yer almaktadır. Odaklar F1 ve F2 olarak etiketlenmiştir.
Hiperbolik yörünge
Hiperbolik yörünge, hızı bir gezegenin, uydunun veya yıldızın kaçış hızından daha fazla olan bir nesnenin izlediği yörüngedir. Örneğin, meteorlar hiperbolik bir yörüngede yaklaşır ve gezegenler arası uzay sondaları bir yörüngede ayrılır.
Sorular ve Yanıtlar
S: Hiperbol nedir?
C: Hiperbol, bir koni ile bir düzlemin kesişmesiyle oluşan bir eğri olan konik kesitin bir türüdür. Düzlem bir çift koninin her iki yarısıyla kesiştiğinde oluşur ve birbirine tam olarak benzeyen ancak zıt yönlere açılan iki eğri oluşturur.
S: Bir hiperbol nasıl oluşturulur?
C: Bir hiperbol, düzlem bir çift koninin her iki yarısıyla kesiştiğinde, birbirine tam olarak benzeyen ancak zıt yönlerde açılan iki eğri oluşturduğunda oluşur. Bu, koninin ekseni ile düzlem arasındaki açı, koninin kenarındaki bir çizgi ile düzlem arasındaki açıdan daha az olduğunda meydana gelir.
S: Doğada hiperbol örneklerini nerede bulabiliriz?
C: Hiperboller doğada birçok yerde bulunabilir. Örneğin, başka bir nesnenin etrafında açık yörüngede bulunan bir nesne - asla geri dönmediği yerde - bir hiperbol şeklinde hareket edebilir. Bir güneş saatinde, gölgenin ucunun zaman içinde izlediği yol da bir hiperbol şeklindedir.
S: Hiperbolün iyi bilinen bir örneğini hangi denklem tanımlar?
C: Bir hiperbolü tanımlayan denklemin iyi bilinen bir örneği f(x)=1/x 'dir.
S: Hiperbol dışında diğer bazı konik kesit türleri nelerdir?
C: Diğer konik kesit türleri arasında paraboller, elipsler ve daireler bulunur.
S: Bu farklı türlerin birbirlerinden farkı nedir?
C: Paraboller bir tepe noktası olan U şeklinde eğrilerdir; elipsler iki odak noktası olan oval şekillerdir; dairelerin tepe noktası veya odak noktası yoktur; ve son olarak, hiperboller merkez noktalarından farklı açılarda dışarıya doğru açılan iki ayrı eğri çizgiye sahiptir.
