Eşlenik değişkenler, kendileriyle belirli bir matematiksel işlem yaptığınızda aynı sonucu vermeyen özel değişken çiftleridir (x, y, z gibi). Bu, x*y'nin y*x'e eşit olmadığı anlamına gelir. Burada * çarpma anlamına gelmez. Toplama, çıkarma, bölme veya bu durumda mantıklı olan herhangi bir işlem anlamına gelebilir.
Bir fizikçi olan Werner Heisenberg ve çalışma arkadaşları, kuantum fiziğindeki olayları tanımlamak ve tahmin etmek için klasik fizikte çalışılan denklemleri kullandılar. Momentum (kütle çarpı hız, P ile gösterilir) ve konumun (Q ile gösterilir) eşlenik değişkenler olduğunu keşfetti. Bu, kuantum fiziğinde P*Q'nun Q*P'ye eşit olmadığı anlamına gelir.
İşte hidrojen atomundaki bir elektronun (küçük yeşil şey) enerjisini hesaplamak için iki özel denklem.
İlk denklem momentum ve konumun çarpımını bulmak için kullanılabilir:
Y ( n , n - b ) = ∑ a p ( n , n - a ) q ( n - a , n - b ) {\displaystyle Y(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,p(n,n-a)q(n-a,n-b)} 
İkinci denklem konum ve momentum çarpımını hesaplamak için kullanılabilir:
Z ( n , n - b ) = ∑ a q ( n , n - a ) p ( n - a , n - b ) {\displaystyle Z(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,q(n,n-a)p(n-a,n-b)} 
Bir süre sonra, başka bir fizikçi olan Max Born, P*Q, Q*P'ye eşit olmadığı için Q*P eksi P*Q sonucunun sıfır olmadığını keşfetti. ("Eksi", "3 - 2" ile aynı eksi değildir. Aynı adı taşıyan farklı bir şeydir).
Born bunu öğrendi:
Q ∗ P - P ∗ Q = i h 2 π {\displaystyle {Q*P-P*Q={\frac {ih}{2\pi }}}} 
[Q sembolü konum matrisi, P momentum matrisi, i karmaşık bir sayı ve h Planck sabitidir, kuantum mekaniğinde çokça karşımıza çıkan bir sayıdır].
Eşlenik değişkenlerin Fizikte, Kimyada ve bilimin diğer birçok alanında uygulamaları vardır.