Burada, daha sonra Heisenberg'in belirsizlik ilkesinde gösterilecek olan temel fikri veren ilk denklemi göstereceğiz.
Heisenberg'in 1925 tarihli çığır açan makalesinde matrisler kullanılmaz ve hatta matrislerden bahsedilmez. Heisenberg'in büyük başarısı, hidrojen radyasyonunun "ilgili fiziksel niteliklerini (geçiş frekansları ve genlikleri) ilke olarak benzersiz bir şekilde belirleyebilen şema" idi.
Heisenberg çığır açan makalesini yazdıktan sonra, düzeltmesi için öğretmenlerinden birine verdi ve tatile çıktı. Max Born, Heisenberg'in bile bir sorun olduğunu düşündüğü denklemler ve bağlaşımsız denklemler karşısında şaşkına döndü. Birkaç gün sonra Born, bu denklemlerin matrisleri yazmak için yönergeler olduğunu fark etti. Matrisler o zamanın matematikçileri için bile yeni ve garipti, ancak onlarla nasıl matematik yapılacağı zaten açıkça biliniyordu. Heisenberg izinden dönmeden önce o ve birkaç kişi daha her şeyi matris formunda çözdü ve birkaç ay içinde matris formundaki yeni kuantum mekaniği onlara başka bir makalenin temelini verdi.
Max Born, pq ve qp'yi temsil eden matrisler hesaplandığında bunların eşit olmayacağını gördü. Heisenberg de aynı şeyi kendi özgün yazım biçimi açısından zaten görmüştü ve Heisenberg, Born için neredeyse apaçık olan şeyi, yani pq ve qp cevap matrisleri arasındaki farkın her zaman Heisenberg'in özgün matematiğinden çıkan iki faktörü içereceğini tahmin etmiş olabilir: Planck sabiti h ve negatif birin karekökü olan i. Yani Heisenberg'in "belirsizlik ilkesi" (genellikle belirsizlik ilkesi olarak bilinir) olarak adlandırmayı tercih ettiği fikrin ta kendisi Heisenberg'in orijinal denklemlerinde saklıydı.
Heisenberg, bir elektron enerji seviyesini değiştirdiğinde ve böylece atomunun merkezine yaklaştığında veya merkezinden uzaklaştığında atomda meydana gelen değişikliklere ve özellikle de bir elektronun iki adımda daha düşük bir enerji durumuna düştüğü durumlara bakıyordu. Max Born, Heisenberg'in bir atomda n enerji seviyesinden n-b enerji seviyesine olan bir değişimin çarpımı olan C'yi bulmak için kullandığı ve atomdaki bir elektronun n enerji durumu ile n-a enerji durumu arasındaki enerji değişiminin ürettiği A adlı bir şeydeki (örneğin bir fotonun frekansı olabilir) bir değişimin B adlı bir şeydeki (örneğin bir değişimin genliği olabilir) başka bir enerji durumundaki n-a'dan n-b'ye olan değişimin ürettiği bir sonraki değişimle çarpımının toplamını almayı içeren garip "tarifini" nasıl aldığını açıkladı:)
C ( n , n - b ) = ∑ a A ( n , n - a ) B ( n - a , n - b ) {\displaystyle C(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,A(n,n-a)B(n-a,n-b)} 
ve çığır açan bir şey keşfettim:
Heisenberg.... ...örnekler üzerinde düşünerek.... bu kuralı buldu. Bu 1925 yazında oldu. Heisenberg...izin aldı...ve makalesini yayınlamam için bana teslim etti....
Heisenberg'in çarpma kuralı beni rahat bırakmadı ve bir haftalık yoğun düşünce ve denemeden sonra aniden cebirsel bir teoriyi hatırladım....Bu tür ikinci dereceden diziler matematikçiler için oldukça tanıdıktır ve belirli bir çarpma kuralıyla birlikte matrisler olarak adlandırılır. Bu kuralı Heisenberg'in kuantum koşuluna uyguladım ve diyagonal elemanlar için geçerli olduğunu gördüm. Geriye kalan elemanların ne olması gerektiğini tahmin etmek kolaydı, yani boş; ve hemen önümde garip formül duruyordu
Q P - P Q = i h 2 π {\displaystyle {QP-PQ={\frac {ih}{2\pi }}}} 
[Q
sembolü yer değiştirme matrisi, P momentum matrisi, i negatif birin karekökü ve h Planck sabitidir].
Daha sonra Heisenberg keşfini başka bir matematiksel forma soktu:
Δ x Δ p ≥ ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}} 
(Özel sembol ℏ {\displaystyle {\hbar }}
"h-bar" veya 'indirgenmiş Planks sabiti' olarak adlandırılır ve h 2 π {\displaystyle {\frac {h}{2\pi }}
'ye eşittir).
Matematik, gerçek dünyada olan şeyleri tanımlamanın bir yoludur. Bir şeyin hem tam konumunu hem de tam kütlesini, yolunu ve hızını aynı anda elde etmenin kolay olacağını düşünebilirsiniz. Ancak, gerçekte cevabınızı almak için iki şey yapmanız gerekir. Eğer bir yerde büyük bir dağın uçurumuna saplanmış bir merminin konumunu ve momentumunu ölçüyorsanız, bu basit bir meseledir. Dağ hiçbir yere gitmiyor gibi görünür, mermi de öyle. Dolayısıyla konumu bilinmektedir ve hızı 0'dır, dolayısıyla momentumu da 0'dır. Ancak mermi bir silah ile hedef arasında bir yerdeyse, herhangi bir andaki konumunu elde etmek zor olacaktır. Yapabileceğimiz en iyi şey, çok hızlı deklanşörü olan bir kamera kullanarak fotoğrafını çekmek olabilir. Ancak deklanşöre tek bir kez basmak size tek bir şey verecektir, merminin t zamanındaki konumu. Momentumu elde etmek için merminin yoluna bir parafin bloğu koyabilir ve mermiyi durdurduğunda parafin bloğunun nasıl hareket ettiğini ölçebiliriz. Ya da, eğer merminin kütlesini biliyorsak, iki resimden oluşan bir dizi çekebilir, merminin iki konumu arasındaki farkı ve iki görünüşü arasındaki zamanı bilerek hızı hesaplayabiliriz. Bunu nasıl yaparsak yapalım, kütleyi, konumu ve görünümler arasındaki zamanı ölçmemiz gerekir. Bu durumda hangi ölçümü önce, hangisini sonra yapacağımızı seçmemiz gerekir. Ölçümlerimizin hangi sırada yapıldığının bir önemi yok gibi görünüyor. Merminin kütlesini ölçtükten sonra konumunu iki kez ölçmek ya da merminin konumunu iki kez ölçtükten sonra mermiyi geri getirip kütlesini ölçmek bir fark yaratmaz, değil mi? Sonuçta, mermiyi tarttığımızda ya da fotoğrafını çektiğimizde mermiye hiçbir şey yapmamış oluruz.
Ancak elektron gibi bir şeyi ölçtüğümüz çok küçük ölçekte, her ölçüm ona bir şey yapar. Eğer önce konumu ölçersek, bu süreçte onun momentumunu değiştiririz. Eğer önce elektronun momentumunu ölçersek, bu süreçte elektronun konumunu değiştirmiş oluruz. Umudumuz bunlardan birini ölçmek ve sonra hiçbir şey değişmeden diğerini ölçmek olurdu, ancak ölçümümüzün kendisi bir değişiklik yapar ve yapabileceğimiz en iyi şey, elektronu ölçerek ona katkıda bulunduğumuz enerjiyi en aza indirmektir. Bu minimum enerji miktarı, faktörlerinden biri olarak Planck sabitine sahiptir.
