AlegsaOnline.com

Schrödinger denklemi

Yazar: Leandro Alegsa

18-05-2022

Schrödinger denklemi, atom altı parçacıkların nasıl davrandığına dair en doğru teorilerden biri olan kuantum mekaniğinin temelini oluşturan bir diferansiyel denklemdir (bilinmeyen bir sayı yerine bilinmeyen bir fonksiyon içeren bir denklem türü). Erwin Schrödinger tarafından 1925 yılında düşünülmüş matematiksel bir denklemdir. Bir parçacığın ya da sistemin (parçacıklar grubu) dalga fonksiyonunu tanımlar ve bu fonksiyon, verilen her zaman için uzayın her noktasında belirli bir değere sahiptir. Bu değerlerin fiziksel bir anlamı yoktur (aslında matematiksel olarak karmaşıktırlar), ancak dalga fonksiyonu bir parçacık veya sistem hakkında bilinebilecek tüm bilgileri içerir. Bu bilgi, konum, momentum, enerji gibi fiziksel özelliklerle ilgili gerçek değerleri döndürmek için dalga fonksiyonunu matematiksel olarak manipüle ederek bulunabilir. Dalga fonksiyonu, bu parçacık veya sistemin zamanla nasıl hareket ettiğinin bir resmi olarak düşünülebilir ve bunu mümkün olduğunca tam olarak tanımlar.

Dalga fonksiyonu aynı anda bir dizi farklı durumda olabilir ve bu nedenle bir parçacık aynı anda birçok farklı konuma, enerjiye, hıza veya diğer fiziksel özelliklere sahip olabilir (yani "aynı anda iki yerde olabilir"). Ancak bu özelliklerden biri ölçüldüğünde sadece tek bir spesifik değere sahip olur (bu değer kesin olarak tahmin edilemez) ve bu nedenle dalga fonksiyonu sadece tek bir spesifik durumdadır. Buna dalga fonksiyonu çökmesi denir ve gözlem veya ölçüm eyleminden kaynaklanıyor gibi görünmektedir. Dalga fonksiyonu çöküşünün kesin nedeni ve yorumu bilim camiasında hala geniş çapta tartışılmaktadır.

Uzayda sadece tek bir yönde hareket eden bir parçacık için Schrödinger denklemi aşağıdaki gibi görünür:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

Burada i {\displaystyle i} $i$ -1'in karekökü, ℏ {\displaystyle \hbar } $\hbar$ indirgenmiş Planck sabiti, t {\displaystyle t} $t$ zaman, x {\displaystyle x} bir konumdur, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ dalga fonksiyonudur ve V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ henüz seçilmemiş bir konum fonksiyonu olan potansiyel enerjidir. Sol taraf Ψ {\displaystyle \Psi } üzerine etki eden Hamilton enerji operatörüne eşdeğerdir. $\Psi$ .

Erwin Schrödinger'in Viyana Üniversitesi'ndeki büstü. Ayrıca bir Schrödinger denklemini de göstermektedir.

Zamandan bağımsız versiyon

Dalga fonksiyonunun, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ , ayrılabilir olduğunu varsayarsak, yani iki değişkenli fonksiyonun tek değişkenli iki farklı fonksiyonun çarpımı olarak yazılabileceğini varsayarsak:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

Kısmi diferansiyel denklemlerin standart matematiksel teknikleri kullanılarak, dalga denkleminin iki farklı diferansiyel denklem olarak yeniden yazılabileceği gösterilebilir

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

Burada ilk denklem sadece T ( t ) {\displaystyle T(t)} $T(t)$ zamanına bağlıdır ve ikinci denklem sadece ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ konumuna bağlıdır ve burada E {\displaystyle E} $E$ sadece bir sayıdır. İlk denklem hemen çözülerek aşağıdakiler elde edilebilir

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

Burada e {\displaystyle e} $e$ Euler sayısıdır. İkinci denklemin çözümleri potansiyel enerji fonksiyonuna bağlıdır, V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ , ve bu yüzden bu fonksiyon verilene kadar çözülemez. Kuantum mekaniği kullanılarak E {\displaystyle E} $E$ sayısının aslında sistemin enerjisi olduğu gösterilebilir, dolayısıyla bu ayrılabilir dalga fonksiyonları sabit enerjili sistemleri tanımlar. Enerji birçok önemli fiziksel sistemde sabit olduğundan (örneğin: atomdaki bir elektron), yukarıda sunulan ayrıştırılmış diferansiyel denklemler kümesinin ikinci denklemi sıklıkla kullanılır. Bu denklem, t {\displaystyle t} $t$ içermediği için Zamandan bağımsız Schrödinger Denklemi olarak bilinir.

Dalga fonksiyonunun yorumları

Doğuştan Yorumlama

Dalga fonksiyonunun birçok felsefi yorumu vardır ve burada önde gelen fikirlerden birkaçı ele alınacaktır. Born olasılık yorumu (adını fizikçi Max Born'dan almıştır) olarak adlandırılan ana fikir, dalga fonksiyonunun kare integrallenebilir olduğu basit fikrinden gelir; yani

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Bu oldukça basit formülün büyük fiziksel etkileri vardır. Born, yukarıdaki integralin parçacığın uzayda bir yerde var olduğunu belirlediğini varsaymıştır. Ama onu nasıl bulabiliriz? İntegrali kullanırız

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

Burada P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} $P(b<x<a)$ parçacığın b {\displaystyle b} $b$ ile a {\displaystyle a} arasındaki bölgede bulunma olasılığıdır. Başka bir deyişle, genel olarak bir parçacık hakkında önceden bilinebilecek tek şey olasılıklar, ortalamalar ve fiziksel büyüklükleriyle (konum, momentum, vb.) ilişkili diğer istatistiksel büyüklüklerdir. Temel olarak, bu Born yorumudur.

Kopenhag Yorumu

Yukarıdaki fikirlerin bir uzantısı yapılabilir. Born yorumu parçacığın gerçek konumunun bilinemeyeceğini söylediğine göre, aşağıdakileri türetebiliriz. Eğer Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ dalga denkleminin çözümleri ise, o zaman bu çözümlerin süperpozisyonu, yani

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

aynı zamanda bir çözümdür. O halde bu, parçacığın mümkün olan her konumda var olduğu anlamına gelir. Bir gözlemci gelip parçacığın konumunu ölçtüğünde, süperpozisyon tek bir olası dalga fonksiyonuna indirgenir. (yani, Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}} $\Psi _{s}$ → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ burada Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ olası dalga fonksiyonu durumlarından herhangi biridir). Bir parçacığın konumunun tam olarak bilinemeyeceği ve bir parçacığın aynı anda birden fazla konumda bulunabileceği fikri Belirsizlik ilkesini doğurur. Bu ilkenin matematiksel formülasyonu şu şekilde verilebilir

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Burada Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ konumdaki belirsizliktir ve Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ momentumdaki belirsizliktir. Bu ilke, kuantum mekaniği tarafından tanımlanan momentum ve konum arasındaki Fourier dönüşümlerinden matematiksel olarak türetilebilir, ancak bu makalede türetmeyeceğiz.

Diğer Yorumlar

Çoklu dünyalar yorumu ve kuantum determinizmi gibi çeşitli başka yorumlar da vardır.

Sorular ve Yanıtlar

S: Schrödinger denklemi nedir?

C: Schrödinger denklemi, kuantum mekaniğinin temelini oluşturan ve 1925 yılında Erwin Schrödinger tarafından düşünülen bir diferansiyel denklemdir. Bir parçacığın veya sistemin, verilen her zaman için uzayın her noktasında belirli bir değere sahip olan bir dalga fonksiyonunu tanımlar.

S: Dalga fonksiyonunu manipüle ederek hangi bilgiler elde edilebilir?

C: Dalga fonksiyonunu matematiksel olarak manipüle ederek, konum, momentum, enerji vb. gibi fiziksel özelliklerle ilgili gerçek değerler bulunabilir.

S: Bir parçacığın aynı anda birçok farklı konuma, enerjiye, hıza veya diğer fiziksel özelliklere sahip olabilmesi ne anlama gelir?

C: Bu, dalga fonksiyonunun aynı anda bir dizi farklı durumda olabileceği ve dolayısıyla bir parçacığın aynı anda birçok farklı konuma, enerjiye, hıza veya diğer fiziksel özelliklere sahip olabileceği (yani "aynı anda iki yerde olabileceği") anlamına gelir.

S: Dalga fonksiyonu çökmesi nedir?

C: Dalga fonksiyonu çökmesi, bu özelliklerden biri ölçüldüğünde sadece tek bir spesifik değere sahip olmasıdır (kesinlikle tahmin edilemez) ve bu nedenle dalga fonksiyonu sadece tek bir spesifik durumdadır. Bu, gözlem veya ölçüm eyleminden kaynaklanıyor gibi görünmektedir.

S: Schrödinger denkleminin bazı bileşenleri nelerdir?

C: Schrödinger denkleminin bileşenleri arasında -1'in kareköküne eşit olan i; indirgenmiş Planck sabitini temsil eden ℏ; zamanı temsil eden t; konumu temsil eden x; dalga fonksiyonlarını temsil eden Ψ (x , t); ve konumun henüz seçilmemiş bir fonksiyonu olarak potansiyel enerjiyi temsil eden V(x) bulunur.

S: Dalga fonksiyonu çöküşünü nasıl yorumlayabiliriz?

C: Dalga fonksiyonu çöküşünün kesin nedeni ve yorumu bilim camiasında hala geniş çapta tartışılmaktadır.