Özel göreliliğin matematiksel temelleri, birbirlerine göre hareket eden ancak ivme yaşamayan iki gözlemcinin uzay ve zaman görünümlerini matematiksel olarak tanımlayan Lorentz dönüşümleridir.
Dönüşümleri tanımlamak için, "olayların" zaman ve mekanını matematiksel olarak tanımlamak üzere bir Kartezyen koordinat sistemi kullanırız.
Her gözlemci bir olayı (x,y,z,t) koordinatlarını kullanarak belirli bir zamanda uzaydaki bir şeyin konumu olarak tanımlayabilir.
Olayın konumu, keyfi bir merkeze (0,0,0) göre ilk üç koordinatta (x,y,z) tanımlanır, böylece (3,3,3) her yönde 3 birim mesafe (metre veya mil gibi) giden bir köşegendir.
Olayın zamanı, bazı zaman birimlerinde (saniye, saat ya da yıl gibi) keyfi (0) bir noktaya göre dördüncü koordinat t ile tanımlanır.
Olayların ne zaman meydana geldiğini t zaman koordinatıyla ve olayların nerede meydana geldiğini x, y ve z uzamsal koordinatlarıyla tanımlayan bir K gözlemcisi olsun. Bu, matematiksel olarak "bakış açısı" ilk referansımız olacak olan ilk gözlemciyi tanımlamaktadır.
Bir olayın zamanının şu şekilde verildiğini belirtelim: gözlemlendiği zaman t(gözlemlenen) (diyelim ki bugün, saat 12'de) eksi gözlemin gözlemciye ulaşması için geçen süre.
Bu, gözlemciden olaya olan uzaklık d(gözlemlenen) olarak hesaplanabilir (diyelim ki olay 1 ışık yılı uzaklıktaki bir yıldızda, bu durumda ışığın gözlemciye ulaşması 1 yıl sürer) ve c, yani tüm gözlemciler için aynı olarak tanımladığımız ışık hızına (saatte birkaç milyon mil) bölünür.
Bu doğrudur çünkü mesafenin hıza bölünmesi, o mesafeyi o hızda gitmek için gereken süreyi verir (örneğin 30 mil bölü 10 mil: bize 3 saat verir, çünkü 3 saat boyunca 10 mil hızla giderseniz 30 mile ulaşırsınız). Yani elimizde:
t = d / c {\displaystyle t=d/c} 
Bu, herhangi bir gözlemci için herhangi bir "zamanın" ne anlama geldiğini matematiksel olarak tanımlamaktır.
Şimdi bu tanımları göz önünde bulundurarak, başka bir gözlemci K' olsun.
- K'nın x ekseni boyunca v hızıyla hareket eder,
- x' , y' , ve z' 'den oluşan bir uzamsal koordinat sistemine sahiptir,
Burada x' ekseni x ekseni ile ve y' ve z' eksenleri ile çakışır - y ve z eksenlerine "her zaman paraleldir".
Bu, K' (3,1,2) gibi bir konum verdiğinde, x (bu örnekte 3'tür) ilk gözlemci olan K'nın bahsettiği yerle aynıdır, ancak y eksenindeki 1 veya z eksenindeki 2 yalnızca K' gözlemcisinin koordinat sistemindeki bir konuma paraleldir ve
- burada K ve K' t = t' = 0'da çakışmaktadır
Bu, (0,0,0,0) koordinatının her iki gözlemci için de aynı olay olduğu anlamına gelir.
Başka bir deyişle, her iki gözlemcinin de üzerinde hemfikir olduğu (en azından) bir zaman ve konum vardır; bu konum ve zaman sıfırdır.
O halde Lorentz Dönüşümleri şunlardır
t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
y ′ = y {\displaystyle y'=y} 
ve
z ′ = z {\displaystyle z'=z}
.
Bir olayı S sisteminde uzay-zaman koordinatlarına (t,x,y,z) ve S′ çerçevesine göre v hızıyla hareket eden bir referans çerçevesinde (t′,x′,y′,z′) sahip olacak şekilde tanımlayın. O zaman Lorentz dönüşümü bu koordinatların şu şekilde ilişkili olduğunu belirtir: Lorentz faktörü ve c vakumdaki ışık hızıdır ve S′'nin v hızı x eksenine paraleldir. Basitlik açısından, y ve z koordinatları etkilenmez; sadece x ve t koordinatları dönüştürülür. Bu Lorentz dönüşümleri tek parametreli bir doğrusal eşleme grubu oluşturur ve bu parametre hızlılık olarak adlandırılır.
Astarlanmamış koordinatlar için yukarıdaki dört dönüşüm denklemi çözüldüğünde ters Lorentz dönüşümü elde edilir:
t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}} 
Bu ters Lorentz dönüşümünün astarlanmış sistemden astarsız sisteme Lorentz dönüşümü ile çakışacak şekilde uygulanması, astarsız çerçevenin astarlanmış çerçevede ölçüldüğü gibi v′ = -v hızıyla hareket ettiğini gösterir.
X ekseni ile ilgili özel bir şey yoktur. Dönüşüm y ya da z eksenine ya da harekete paralel (γ faktörü tarafından çarpıtılan) ve dik yönlerle yapılabilecek herhangi bir yöne uygulanabilir; ayrıntılar için Lorentz dönüşümü makalesine bakın.
Lorentz dönüşümleri altında değişmeyen bir nicelik Lorentz skaleri olarak bilinir.
Lorentz dönüşümünü ve tersini koordinat farkları cinsinden yazarsak, bir olayın koordinatları (x1 , t1 ) ve (x′ , t′11 ), başka bir olayın koordinatları (x , t22 ) ve (x′2 , t′2 ) olur ve farklar şu şekilde tanımlanır
Eşitlik 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . } 
Eşitlik 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . } 
elde ederiz
Eşitlik 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ } 
Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . } 
Eşitlik 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ } 
Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . } 
Farkları almak yerine diferansiyelleri alırsak, şunları elde ederiz
Eşitlik 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ }
d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ . } 
Eşitlik 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ }
d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ . } 
